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Was bedeutet Medienkompetenz?
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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 3 - A.53.02
Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: "dy/dx", multipliziert die gesamte Gleichung mit "dx" und versucht nun auch im Folgenden, alle "x" auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle "y" auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante "+c" nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein "x"-Wert und ein zugehöriger "y"-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante "c" bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich "Trennung der Variablen" oder "Variablentrennung".
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Allgemeinbildende Schule Berufliche Bildung Erwachsenenbildung Hochschulbildung Lehrerfort- und Weiterbildung Sekundarstufe I Sekundarstufe IIFach- und Sachgebiete
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Ableitung Analysis Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Sinus Sinusfunktion Trennung Variable Video WinkelfunktionSprachen
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Partielle Ableitung, Beispiel 3 | A.51.01
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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 1 | A.53.04
Bei einer homogenen DGL höherer Ordnung sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms entscheidend. Das charakteristische Polynom erhält man, in dem man in der DGL f' durch x ersetzt, f'' durch x^2, f''' durch x^3, usw. Diese Gleichung löst man (oft nicht einfach) und betrachtet die Lösungen. Der Lösungsansatz hängt von zwei Faktoren ab: 1. ist die Lösung des charakteristischen Polynoms reell oder komplex? und 2. ist die Lösung einfach, doppelt, dreifach...
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Allgemeinbildende Schule Berufliche Bildung Erwachsenenbildung Hochschulbildung Lehrerfort- und Weiterbildung Sekundarstufe I Sekundarstufe IIFach- und Sachgebiete
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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 3 | A.53.04
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Allgemeinbildende Schule Berufliche Bildung Erwachsenenbildung Hochschulbildung Lehrerfort- und Weiterbildung Sekundarstufe IFach- und Sachgebiete
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Ableitung Analysis Charakteristisches Polynom Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Höhere Ordnung Koeffizient Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Variable VideoSprachen
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Mit L'Hospital Grenzwerte bestimmen, Beispiel 1 | A.52.02
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- Analysis 5 | Höhere Mathematik: Tangentialebene: Tangente einer mehrdimensionalen Funktion, Beispiel 2 | A.51.03
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- Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 1 - A.55.02
- Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 3 | A.55.02
- Rentenrechnung: so rechnet man richtig | A.55.02
- So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 1 | A.53.01
- So löst man eine Differentialgleichung DGL, Beispiel 3 | A.53.01
- So löst man eine Differentialgleichung DGL | A.53.01
- Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 1 | A.52.03
- Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 2 | A.52.03
- Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 3 - A.52.03
- Verkettete Funktionen berechnen | A.52.03
- Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 2 | A.54.06
- Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 3 - A.54.06
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- Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 1 | A.55.01
- Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 2 | A.55.01
- Zinseszinsrechnung: so rechnet man Zinseszins richtig, Beispiel 3 | A.55.01
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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen | A.53.03
Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)
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Allgemeinbildende Schule Berufliche Bildung Erwachsenenbildung Hochschulbildung Lehrerfort- und Weiterbildung Sekundarstufe I Sekundarstufe IIFach- und Sachgebiete
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Ableitung Analysis Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Trennung Variable VideoSprachen
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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen - A.53.04
Bei einer homogenen DGL höherer Ordnung sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms entscheidend. Das charakteristische Polynom erhält man, in dem man in der DGL f' durch x ersetzt, f'' durch x^2, f''' durch x^3, usw. Diese Gleichung löst man (oft nicht einfach) und betrachtet die Lösungen. Der Lösungsansatz hängt von zwei Faktoren ab: 1. ist die Lösung des charakteristischen Polynoms reell oder komplex? und 2. ist die Lösung einfach, doppelt, dreifach...
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Ableitung Analysis Charakteristisches Polynom Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Höhere Ordnung Koeffizient Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Variable VideoSprachen
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- Komplexe Zahlen dividieren und Kehrwert bilden, Beispiel 2 - A.54.04
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- Komplexe Zahlen potenzieren, Beispiel 2 - A.54.05
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- Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 2 - A.54.03
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- Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 1 | A.53.02
- Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 2 - A.53.02
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- Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen, Beispiel 1 | A.53.03
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- Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen, Beispiel 3 | A.53.03
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- Verkettete Funktionen berechnen, Beispiel 2 | A.52.03
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- Wurzel von komplexen Zahlen ziehen, Beispiel 2 | A.54.06
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Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen, Beispiel 2 - A.53.02
Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: "dy/dx", multipliziert die gesamte Gleichung mit "dx" und versucht nun auch im Folgenden, alle "x" auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle "y" auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante "+c" nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein "x"-Wert und ein zugehöriger "y"-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante "c" bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich "Trennung der Variablen" oder "Variablentrennung".
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DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 4 | A.53.04
Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).
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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen, Beispiel 3 | A.53.03
Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)
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Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen, Beispiel 1 | A.53.03
Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)
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10-18Schlüsselwörter
Ableitung Analysis Differentialgleichung Differenzialgleichung E-Learning Funktion (Mathematik) Gleichung (Mathematik) Höhere Mathematik Koordinate Lineare Differentialgleichung Mathematik Parameter Trennung Variable VideoSprachen
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