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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 1

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 6

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen / Bruchfunktion: Nullstellen berechnen, Beispiel 1 | A.43.01

Die Schnittpunkte einer Bruchfunktion mit der x-Achse bestimmt man, in dem man die Funktion mit dem Nenner multipliziert. Damit ist man den Bruch los und führt die Berechnung der Nullstellen auf die eine viel einfachere ganzrationale Funktion zurück.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab, Beispiel 2 | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 2 | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: Asymptote und Grenzwert berechnen, Beispiel 3 | A.43.06

Jede Funktion kann eine (oder mehrere) waagerechte Asymptote, senkrechte Asymptote und schiefe Asymptote haben. Am einfachsten berechnet man senkrechte Asymptoten (auch Polstellen oder Definitionslücken oder Lücken oder Polgerade genannt) in dem man den Nenner Null setzt. Waagerechte Asymptoten erhält man, in dem man x gegen Unendlich laufen lässt. Im Detail bedeutet, dass man die größten Hochzahlen von Zähler und Nenner vergleicht und dabei vier Fälle unterscheidet. Schiefe Asymptoten betrachten wir im nächsten Unterkapitel.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen | A.43.07

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schaubild einer gebrochen-rationalen Funktion erstellen, Beispiel 1 | A.43.08

Gebrochen-rationale Funktionen zeichnet man am besten über die Asymptoten. Man zeichnet also zuerst die Asymptoten, danach eventuell Nullstellen (falls man Hoch-, Tief- oder Wendepunkte kennt zeichnet man diese ebenfalls ein) und versucht die Funktion zu zeichnen. Falls notwendig, kann man noch eine Wertetabelle machen, also noch ein paar Punkte einzeichnen. Das sollte für das Zeichnen ausreichen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


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Analysis 5 | Höhere Mathematik: Funktion untersuchen auf Definitionsmenge; Definitionslücke; hebbare Lücke; Polstellen, Beispiel 3

Es geht hier hauptsächlich um gebrochen-rationale Funktionen (Bruchfunktionen). Bei der Berechnung der Polstellen und Definitionslücken treten manchmal Sonderfälle auf. Diese entpuppen sich dann als “hebbare Lücke” (ein “Loch” in der Funktion). Um sicher ALLE Sonderfälle zu berücksichtigen, macht man Folgendes: 1. Zuerst zerlegt man Zähler und Nenner in Faktoren (d.h. Ausklammern, bin. Formeln oder Linearfaktorzerlegung [Kap.?B.05]). 2. Man bestimmt die Definitionsmenge, (das sind die Nennernullstellen). 3. Kürzen, was sich kürzen lässt. 4. Die Nennernullstellen, die jetzt noch übrig bleiben, sind die senkrechten Asymptoten, die anderen Zahlen, die zwar in der Definitionsmenge auftauchen, jedoch keine senkr. Asymptoten sind, sind die hebbaren Lücken bzw. die Löcher.


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