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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von ganzrationalen Funktionen berechnen über Polynomdivision, Beispiel 3 | A.46.01

Wenn man bei der Berechnung einer Nullstelle kein normales Verfahren anwenden kann (nicht Ausklammern, nicht Substituieren, nicht Mitternachtsformel anwenden kann), bleibt nur die Polynomdivision als Notlösung übrig (oder das Horner-Schema, welches eine andere Variante der Polynomdivision ist). Dafür muss man zuerst eine Nullstelle der Gleichung raten und anschließend die Gleichung durch (x-Nullstelle) teilen. Das Ergebnis ist ein einfacheres Polynom, welches man nun erneut auf Nullstellen untersucht.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Linearfaktorzerlegung | A.46.03

Linearfaktoren sind Klammern, die mit “mal” verbunden sind. In den Klammern darf “x” keine Hochzahl haben. Braucht man von einer Funktion in Linearfaktorzerlegung, hat die Funktion die Form: f(x)=a·(x-x1)·(x-x2)·(x-x3)·.... x1, x2, x3, … sind hierbei die Nullstellen der Funktion. Fazit: Man braucht die Nullstellen einer Funktion, dann kann man die Linearfaktorzerlegung schnell aufstellen. (Den Parameter “a” erhält man zum Schluss recht einfach, in dem man einen beliebigen Punkt einsetzt).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: Ableitung, Beispiel 3 | A.41.03

Die Ableitung eines e-Terms berechnet man relativ einfach. Der e-Term bleibt komplett unverändert erhalten, zusätzlich multipliziert man ihn noch mit der Ableitung der Hochzahl. Da die Ableitung der Hochzahl eine Art “innere Ableitung” ist, wendet man im Prinzip die Kettenregel an. Als Formel könnte man anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == f'(x)=a*e^(bx+c)*b.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte Exponentialfunktionen ableiten, Beispiel 3 | A.41.04

Bei hässlicheren Exponentialfunktionen kann man bei der Ableitung eigentlich nur noch zusätzlich die Produktregel oder Kettenregel auftauchen (ggf. noch Quotientenregel). Viel mehr Möglichkeiten gibt es nicht, was jedoch nicht heißt, dass alles immer nur einfach ist. Denken Sie bitte an die innere Ableitung, denn diese werden Sie mindestens ein bis zwei Mal pro Ableitung anwenden müssen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 1 | A.41.05

Das Integrieren von e-Termen läuft ähnlich ab, wie das Ableiten. In der Stammfunktion bleibt der e-Term komplett unverändert, die innere Ableitung (die Ableitung der Hochzahl) wird runter, in den Nenner geschrieben. Man führt also eine umgekehrte Kettenregel an, auch “lineare Substitution” genannt. Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Aufleitung) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 3 | A.41.05

Das Integrieren von e-Termen läuft ähnlich ab, wie das Ableiten. In der Stammfunktion bleibt der e-Term komplett unverändert, die innere Ableitung (die Ableitung der Hochzahl) wird runter, in den Nenner geschrieben. Man führt also eine umgekehrte Kettenregel an, auch “lineare Substitution” genannt. Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Aufleitung) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Integrieren von komplizierten Exponentialfunktionen, Beispiel 4 | A.41.06

Braucht man die Stammfunktion von besonders hässliche Exponentialgleichungen, kann man eigentlich nur die Produktintegration (=partielle Integration) anwenden oder die Integration durch Substitution. Vielleicht kann man auch den ein- oder anderen Trick anwenden.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Volumen Kegel und Volumen Zylinder berechnen, Beispiel 1 | A.21.05

Einen Kegel erhält man, wenn ein Dreieck um eine Seite rotiert, einen Zylinder erhält man, wenn ein Rechteck um eine der Seiten rotiert. Ein Kegelvolumen berechnet man über: V=pi/3*r²*h, ein Zylindervolumen berechnet man über V=pi*r²*h. Man braucht also in beiden Fällen den Radius und die Höhe. Beides sind im Normalfall waagerechte oder senkrechte Strecken, welche man also über die Differenz der x-Werte bzw. der y-Werte berechnet. Alles wird in die Volumenformel eingesetzt und das Maximum/Minimum berechnet. Schwuppdiwupp ist der größte Kegel (bzw. der größte Zylinder) da.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Abstand Punkt-Funktion mit GTR / CAS berechnen, Beispiel 1 | A.21.08

Der Abstand eines Punkt P zu einer Funktion f(x) ist natürlich der KLEINSTE Abstand von diesem Punkt zur Funktion. Man stellt den Abstand des Punktes P zum beliebigen Punkt P(u|f(u)) mit Hilfe der Abstandsformel auf und erhält den Abstand in Abhängigkeit vom Parameter u. Diesen Abstand gibt man als Funktion in den GTR/CAS ein und bestimmt das Minimum. (Abstand Punkt Funktion sieht man in den letzten Jahren häufiger).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgaben, schwierige Übungen, Beispiel 2 | A.21.09

Leider gehören viele der Extremwertaufgaben nicht zu den letztgenannten Standardfällen. Viele der Extremwertaufgaben sind immer wieder neue, hässliche Typen. Hier ein Versuch ein paar davon vorzurechnen. In den Beispielen geht es um die Fläche von einem beliebigen Dreieck, Fläche vom Trapez und zwei senkrechten Geraden die aus einer Fläche einen Streifen ausschneiden.


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