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Terme: Was sind Terme überhaupt? Wie rechnet man mit Termen? - B.01

Wissen Sie genau was "Terme" ist? Ein Term ist in Mathe das, was im Alltag ein "Ding" ist. Ein Term kann so ziemlich alles sein. Allerdings wird der Begriff "Term" meistens für Klammern verwendet oder allgemein für irgendwelche Teile die mit "Mal" verbunden sind. ("Plus" und "Minus" sind also meist Anfang und Ende eines Terms.) In diesem Kapitel addieren und multiplizieren wir Terme (Klammern) miteinander. Mathematische Formulierung: Wir wenden sämtliche Grundrechenarten auf diverse Terme an.


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Rentenrechnung: so rechnet man richtig, Beispiel 2 | A.55.02

Wenn man z.B. monatlich einen bestimmten Betrag bei der Bank einzahlt und das Ganze verzinst wird, nennt man das Ratensparen oder Rentenrechnung oder Ratenzahlung. Das Endkapital “K” nach n Zeiteinheiten berechnet man mit der Formel: K=R*(q^n-1)/(q-1). “R” ist die regelmäßige Rate die einbezahlt wird, “q” ist der Wachstumsfaktor für den gilt: q=1+p/100. (Zumindest gilt die Formel bei nachschüssiger Verzinsung.) Bei vorschüssiger Verzinsung, wenn also die Rate am Anfang und die Verzinsung am Ende der Periode erfolgt, steht hinter dem Bruch noch ein “q”.


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Ausklammern: so klammert man einen Term richtig aus, Beispiel 1 - B.01.03

Wenn zwei Terme durch eine Strichrechnung verbunden sind und gleiche Buchstaben enthalten, so kann man diese Buchstaben "ausklammern". Z.B. aus "ax²+bx" kann man "x" ausklammern. == ax²+bx=x*(ax+b). Das Ausklammern ist also so eine Art "Rückwärts-Ausmultiplizieren".


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Binomische Formeln und Binome ausrechnen, Beispiel 2 - B.01.02

Ein Binom ist eine Klammer mit zwei Termen innen drin, z.B. "(x+2)". Für drei Sonderfälle gibt es die sogenannten binomischen Formeln. Sie lauten: 1. (a+b)²=a²+2ab+b², 2. (a-b)²=a²-2ab+b², 3. (a+b)(a-b)=a²-b². (Falls man die binomische Formeln vergisst, kann man beide Klammern auch einfach miteinander multiplizieren).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 1 | A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 6 | A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, kubische Parabel ableiten, Beispiel 1 | A.05.02

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man irgendeinen x-Wert in die Ableitung ein, so erhält man die Tangentensteigung. Wie leitet man überhaupt ab? Die Hochzahl von “x” kommt vor, die neue Hochzahl wird eins kleiner. Z.B. wird aus 4x³ beim Ableiten: 4*3x²=12x².


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Kubische Funktion, Wendepunkte kubischer Parabeln berechnen - A.05.04

Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, wenn man die zweite Ableitung Null setzt und nach "x" auflöst. Den y-Wert erhält man, in dem man x in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzt. (Normalerweise muss man den x-Wert auch noch in die dritte Ableitung einsetzen, aber bei kubischen Parabeln [Gleichungen dritten Grades] muss man das streng genommen nicht. Wenn man f''(x)=0 setzt und nach x auflöst, ist das IMMER ein Wendepunkt).


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Kubische Funktion, Tangenten kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 1 - A.05.05

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. Die Steigung der Tangente erhält man, in dem man den x-Wert des Berührpunktes in die Ableitung der Funktion einsetzt. Den y-Wert des Berührpunktes erhält man, in dem man x in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzt. Setzt man x, y und m in die Geradengleichung y=m*x+b ein, erhält man b und damit die Geradengleichung.


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Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 1 | A.07.03

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Die Berechnung von begrenztem Wachstum erfolgt über eine Tabelle und Schritt für Schritt, d.h. aus einem Bestand berechnen wir den Bestand vom nächsten Tag/Jahr/Minute/..., daraus dann den übernächsten Bestand usw. Wir verwenden hierbei die Formel dB(t)=k*(G-B(t)), wobei B(t) der aktuelle Bestand ist, G die Grenze, k irgendein Wachstumsfaktor, dB(t) die Zunahme im aktuellen Zeitintervall. (In der Oberstufe/Studium erfolgt dann eine geschicktere Berechnung über e-Funktionen [Kap.A.30.05]) .


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