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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Quadratische Ungleichungen, Beispiel 2 | A.26.02

Eine quadratische Ungleichung ist natürlich eine Ungleichung, in welcher “x²” vorkommt. Es gibt zwei gute Vorgehensweisen dafür. Entweder über die quadratische Ergänzung oder man bestimmt die Nullstellen der quadratischen Parabel, überlegt, wie die Parabel liegt und weiß damit, in welchem Bereich die Parabel positiv oder negativ ist.


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Parabel verschieben, Beispiel 4 - A.04.08

Eine Parabel verschiebt man am einfachsten, indem man zuerst den Scheitelpunkt der Parabel berechnet (z.B. über quadratische Ergänzung), diesen Scheitelpunkt dann verschiebt und mit dem verschobenen Scheitelform dann wieder die Scheitelform der Parabel aufstellt (und die dann in Normalform umwandelt, falls des gewünscht ist).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel strecken, Beispiel 4 | A.04.09

Strecken und Stauchen sind in Mathe mehr oder weniger das Gleiche. Staucht man eine Parabel (quetscht sie also zusammen) entspricht das einem Strecken mit einem Streckfaktor von weniger als 1. Man kann Parabel auf unterschiedliche Weisen strecken. Am wichtigsten ist die Streckung in y-Richtung. Hier muss man unterscheiden, ob man die Parabel von der x-Achse aus oder vom Scheitelpunkt aus streckt. Streckt man die Parabel an der x-Achse, ist das sehr einfach. Man multipliziert die ganze Parabel einfach mit dem Streckfaktor (egal in welcher Form die Parabel gegeben ist). Streckt man die Parabel vom Scheitelpunkt aus, muss man die Parabel in Scheitelform bringen [y=a*(x-xs)²+ys] und multipliziert nun nur “a” mit dem Streckfaktor. Anschließend kann man die Scheitelform wieder in Normalform umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und Scheitelpunkt, Beispiel 1 | A.04.14

Hat man von einer Normalparabel nur den Scheitelpunkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein und ist fertig (“a” ist ja 1 oder -1, je nachdem ob die Parabel noch oben oder unten geöffnet ist). Eventuell kann man die Scheitelform noch in die Normalform umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und Scheitelpunkt, Beispiel 3 | A.04.14

Hat man von einer Normalparabel nur den Scheitelpunkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein und ist fertig (“a” ist ja 1 oder -1, je nachdem ob die Parabel noch oben oder unten geöffnet ist). Eventuell kann man die Scheitelform noch in die Normalform umwandeln.


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Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und zwei Punkten, Beispiel 3 - A.04.15

Hat man von einer Normalparabel zwei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so beginnt man mit dem Ansatz y=x²+px+q und setzt man die Koordinaten beider Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. Beide Gleichungen zieht man von einander ab, so dass der Parameter "q" weg fällt und erhält "p". Setzt man nun "p" in eine der Gleichungen ein, erhält man "q". Nun "p" und "q" in y=x²+px+q einsetzen und sich über die fertige Parabelgleichung freuen.


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit drei Punkten - A.04.17

Hat man von einer beliebigen Parabel drei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so beginnt man mit dem Ansatz y=ax²+bx+c und setzt man die Koordinaten aller drei Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. (Oft erhält man aus einer Gleichung schon direkt "c"). Die erhaltenen Gleichungen muss man nun irgendwie so miteinander verrechnen, dass man "a", "b" und "c" erhält. (Zur Frage WIE das geht, siehe evtl. Kap G.02 und Unterkapitel).


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Nullstellen, Beispiel 1 - A.04.18

Hat man von einer Parabel beide Nullstellen gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen. Die komplizierte Methode wäre, die Nullstellen als normale Punkte zu betrachten und dann ein Gleichungssystem aufzustellen (siehe A.04.15 oder A.04.17). Die geschicktere Methode wäre die x-Werte der Nullstellen in die Linearfaktorform einzusetzen [y=a(x-x1)(x-x2), wobei x1 und x2 die Nullstellen sind]. Weiß man, dass es sich um eine Normalparabel handelt, kennt man auch schon "a" (a=1 oder a=-1). Ist es keine Normalparabel, so muss noch ein weiterer Punkt gegeben sein. Dessen Koordinaten setzt man zusätzlich in die Linearfaktorform ein und berechnet nun "a". Wie dem auch sei, nun setzt man "a", "x1" und "x2" in die Linearfaktorform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Klammern ausmultiplizieren um die Normalform der Parabel zu erhalten.


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Nullstellen, Beispiel 3 - A.04.18

Hat man von einer Parabel beide Nullstellen gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen. Die komplizierte Methode wäre, die Nullstellen als normale Punkte zu betrachten und dann ein Gleichungssystem aufzustellen (siehe A.04.15 oder A.04.17). Die geschicktere Methode wäre die x-Werte der Nullstellen in die Linearfaktorform einzusetzen [y=a(x-x1)(x-x2), wobei x1 und x2 die Nullstellen sind]. Weiß man, dass es sich um eine Normalparabel handelt, kennt man auch schon "a" (a=1 oder a=-1). Ist es keine Normalparabel, so muss noch ein weiterer Punkt gegeben sein. Dessen Koordinaten setzt man zusätzlich in die Linearfaktorform ein und berechnet nun "a". Wie dem auch sei, nun setzt man "a", "x1" und "x2" in die Linearfaktorform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Klammern ausmultiplizieren um die Normalform der Parabel zu erhalten.


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Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 3 - A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum "x" noch ein "t" oder "k" oder …), so spricht man von einer "Parabelschar" (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man "Scharparabel" (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach "x" auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach "t" auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man "Diskriminante"). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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