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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Abstand Punkt-Funktion mit GTR / CAS berechnen | A.21.08

Der Abstand eines Punkt P zu einer Funktion f(x) ist natürlich der KLEINSTE Abstand von diesem Punkt zur Funktion. Man stellt den Abstand des Punktes P zum beliebigen Punkt P(u|f(u)) mit Hilfe der Abstandsformel auf und erhält den Abstand in Abhängigkeit vom Parameter u. Diesen Abstand gibt man als Funktion in den GTR/CAS ein und bestimmt das Minimum. (Abstand Punkt Funktion sieht man in den letzten Jahren häufiger).


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Extremwertaufgaben, schwierige Übungen, Beispiel 1 | A.21.09

Leider gehören viele der Extremwertaufgaben nicht zu den letztgenannten Standardfällen. Viele der Extremwertaufgaben sind immer wieder neue, hässliche Typen. Hier ein Versuch ein paar davon vorzurechnen. In den Beispielen geht es um die Fläche von einem beliebigen Dreieck, Fläche vom Trapez und zwei senkrechten Geraden die aus einer Fläche einen Streifen ausschneiden.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgaben, schwierige Übungen, Beispiel 3 | A.21.09

Leider gehören viele der Extremwertaufgaben nicht zu den letztgenannten Standardfällen. Viele der Extremwertaufgaben sind immer wieder neue, hässliche Typen. Hier ein Versuch ein paar davon vorzurechnen. In den Beispielen geht es um die Fläche von einem beliebigen Dreieck, Fläche vom Trapez und zwei senkrechten Geraden die aus einer Fläche einen Streifen ausschneiden.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen strecken: so wird’s gemacht, Beispiel 3 | A.23.02

Wie kann man eine Funktion strecken? Man kann sie um den Faktor “c” in y-Richtung strecken, indem man die Funktion mit dieser Zahl “c” multipliziert. (Aus “f(x)” wird “c*f(x)”). Man streckt eine Funktion um den Faktor “d” in x-Richtung, indem man jeden Buchstaben “x” der Funktion durch “x/d” ersetzt. (Aus “x” wird “x/d”). Bemerkung: Ist ein Streckfaktor kleiner als 1, nennt man den Vorgang “Funktion stauchen” (die Funktion wird also gequetscht, nicht gestreckt). Ist ein Streckfaktor negativ, wird die Funktion zusätzlich noch an der x bzw. y-Achse gespiegelt.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln an der x-Achse, an der y-Achse oder am Ursprung, Beispiel 3 | A.23.03

Will man eine Funktion spiegeln, so ist ein Minuszeichen entscheidend. Bei einer Achsenspiegelung an der y-Achse, muss man jede Variable “x” der Funktion durch “-x” ersetzt. Man spiegelt eine Funktion an der x-Achse, indem man vor die Funktion ein Minus setzt (aus “f(x)” wird “-f(x)”). Braucht man eine Punktspiegelung von einer Funktion am Ursprung, so erhält man das durch eine Achsenspiegelung an der x-Achse UND einer an der y-Achse (aus “f(x)” wird “-f(-x)”).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 1 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 3 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen spiegeln über Verschieben, Beispiel 1 | A.23.05

Wenn man eine Funktion spiegeln will, z.B. an einer senkrechten Gerade der Form x=a, so verschiebt man die Funktion f(x) erst in waagerechte Richtung um “-a”, dann spiegelt man die Funktion an der y-Achse und schiebt die Funktion wieder um “a” zurück. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, so verschiebt man f(x) in senkrechte Richtung um “-b”, spiegelt dann an der x-Achse und verschiebt danach die Funktion wieder um “b” zurück. Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so muss man zwei Achsenspiegelungen durchführen: nämlich die Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 1 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel verschieben | A.04.08

Eine Parabel verschiebt man am einfachsten, indem man zuerst den Scheitelpunkt der Parabel berechnet (z.B. über quadratische Ergänzung), diesen Scheitelpunkt dann verschiebt und mit dem verschobenen Scheitelform dann wieder die Scheitelform der Parabel aufstellt (und die dann in Normalform umwandelt, falls des gewünscht ist).


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