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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Logarithmusfunktionen: Rechenbeispiele zur Funktionsanalyse | A.44.09

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von Logarithmus-Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Definitionsmenge, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Wurzelfunktion ableiten, Beispiel 2 | A.45.01

Um eine Wurzel abzuleiten, muss man sie umschreiben. Die normale Wurzel schreibt um, zu einer Klammer mit der Hochzahl “0,5”. Nun wendet man die Kettenregel an und kann differenzieren (ableiten). (Die Berechnung der Definitionsmenge ist zwingend erforderlich.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Ableitung von komplizierten Wurzelfunktionen, Beispiel 3 | A.45.02

Bei hässlichen Ableitungen, die eine Wurzel enthalten, braucht man vermutlich eine der Ableitungsregeln, also die Produktregel oder evtl. Quotientenregel. Ziemlich sicher muss man die Wurzel auch noch umschreiben und dann mittels Kettenregel ableiten.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: Nullstellen berechnen, Beispiel 4 | A.41.01

Nullstellen, der Schnittpunkt mit der x-Achse, führt natürlich auf das Problem einer Exponentialgleichung zurück. Um Exponentialgleichungen zu lösen, muss man zuerst nach dem e-Term auflösen. Danach wendet man den “ln” an (natürlicher Logarithmus). Vom e-Term bleibt nur noch der Exponent übrig und man kommt an “x” ran.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von komplizierten Exponentialfunktionen berechnen, Beispiel 2 | A.41.02

Bei nicht so ganz einfachen Exponentialgleichungen kann man eigentlich nur ausklammern (den Satz vom Nullprodukt anwenden) oder substituieren. Eventuell muss man auch zuerst mit dem Nenner multiplizieren und erst dann Substitution anwenden,


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Nullstellen von komplizierten Exponentialfunktionen berechnen, Beispiel 5 | A.41.02

Bei nicht so ganz einfachen Exponentialgleichungen kann man eigentlich nur ausklammern (den Satz vom Nullprodukt anwenden) oder substituieren. Eventuell muss man auch zuerst mit dem Nenner multiplizieren und erst dann Substitution anwenden,


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion: Ableitung, Beispiel 3 | A.41.03

Die Ableitung eines e-Terms berechnet man relativ einfach. Der e-Term bleibt komplett unverändert erhalten, zusätzlich multipliziert man ihn noch mit der Ableitung der Hochzahl. Da die Ableitung der Hochzahl eine Art “innere Ableitung” ist, wendet man im Prinzip die Kettenregel an. Als Formel könnte man anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == f'(x)=a*e^(bx+c)*b.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte Exponentialfunktionen ableiten, Beispiel 3 | A.41.04

Bei hässlicheren Exponentialfunktionen kann man bei der Ableitung eigentlich nur noch zusätzlich die Produktregel oder Kettenregel auftauchen (ggf. noch Quotientenregel). Viel mehr Möglichkeiten gibt es nicht, was jedoch nicht heißt, dass alles immer nur einfach ist. Denken Sie bitte an die innere Ableitung, denn diese werden Sie mindestens ein bis zwei Mal pro Ableitung anwenden müssen.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 1 | A.41.05

Das Integrieren von e-Termen läuft ähnlich ab, wie das Ableiten. In der Stammfunktion bleibt der e-Term komplett unverändert, die innere Ableitung (die Ableitung der Hochzahl) wird runter, in den Nenner geschrieben. Man führt also eine umgekehrte Kettenregel an, auch “lineare Substitution” genannt. Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Aufleitung) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Exponentialfunktion integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 3 | A.41.05

Das Integrieren von e-Termen läuft ähnlich ab, wie das Ableiten. In der Stammfunktion bleibt der e-Term komplett unverändert, die innere Ableitung (die Ableitung der Hochzahl) wird runter, in den Nenner geschrieben. Man führt also eine umgekehrte Kettenregel an, auch “lineare Substitution” genannt. Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Aufleitung) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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