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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Scheitelpunkt und Punkt, Beispiel 2 | A.04.16

Hat man von einer beliebigen Parabel den Scheitelpunkt und irgend einen anderen Punkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein. Danach setzt man den anderen Punkt und kann “a” berechnen. Im Detail: die Scheitelform lautet y=a(x-xs)²+ys. Die Koordinaten des Scheitelpunkts setzt man für “xs” und “ys” ein, die Koordinaten des anderen Punkts setzt man für “x” und “y” ein. Nun erhält man also “a”. Danach “a”, “xs” und “ys” wieder in die Scheitelform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Scheitelform noch in die Normalform der Parabel umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Scheitelpunkt und Punkt, Beispiel 4 | A.04.16

Hat man von einer beliebigen Parabel den Scheitelpunkt und irgend einen anderen Punkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein. Danach setzt man den anderen Punkt und kann “a” berechnen. Im Detail: die Scheitelform lautet y=a(x-xs)²+ys. Die Koordinaten des Scheitelpunkts setzt man für “xs” und “ys” ein, die Koordinaten des anderen Punkts setzt man für “x” und “y” ein. Nun erhält man also “a”. Danach “a”, “xs” und “ys” wieder in die Scheitelform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Scheitelform noch in die Normalform der Parabel umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Parabel mit drei Punkten, Beispiel 3 | A.04.17

Hat man von einer beliebigen Parabel drei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so beginnt man mit dem Ansatz y=ax²+bx+c und setzt man die Koordinaten aller drei Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. (Oft erhält man aus einer Gleichung schon direkt “c”). Die erhaltenen Gleichungen muss man nun irgendwie so miteinander verrechnen, dass man “a”, “b” und “c” erhält. (Zur Frage WIE das geht, siehe evtl. Kap G.02 und Unterkapitel).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 1 | A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel mit Parameter berechnen, Beispiel 6 | A.04.19

Wenn in einer Parabelgleichung ein Parameter auftaucht (also zusätzlich zum “x” noch ein “t” oder “k” oder …), so spricht man von einer “Parabelschar” (man hat schließlich eine ganze Schar von Parabeln). Jede einzelne Parabel nennt man “Scharparabel” (eine Parabel aus dieser Schar). Die üblichen Fragen bei Parabelscharen sind Nullstellen (also y=0 setzen und nach “x” auflösen), irgendeine Punktprobe (man setzt also die Koordinaten von irgendeinem gegebenen Punkt ein und muss nach “t” auflösen), und ähnliches Zeug. Oft steckt der Parameter in der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) unter der Wurzel und man muss entscheiden, ob es für die Fragestellung aus der Aufgabe keine/eine/zwei Lösungen gibt. Die Antwort hängt davon ab, was unter der Wurzel steht (das unter der Wurzel nennt man “Diskriminante”). Ist die Diskriminante positiv gibt es zwei Lösungen, ist sie negativ gibt es keine Lösung, ist sie genau Null so hat man eine Lösung. Gewöhnungsbedürftig, aber machbar.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Gleichung dritten Grades; Nullstellen kubische Parabel berechnen | A.05.01

Nullstellen einer kubischen Parabel (Gleichung dritten Grades) kann man eigentlich nur berechnen, in dem man “x” (oder evtl. “x²) ausklammert und den Satz vom Nullprodukt (SvN) anwendet. Danach ist höchstwahrscheinlich p-q-Formel bzw. a-b-c-Formel angesagt.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, kubische Parabel ableiten, Beispiel 1 | A.05.02

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man irgendeinen x-Wert in die Ableitung ein, so erhält man die Tangentensteigung. Wie leitet man überhaupt ab? Die Hochzahl von “x” kommt vor, die neue Hochzahl wird eins kleiner. Z.B. wird aus 4x³ beim Ableiten: 4*3x²=12x².


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Kubische Funktion, Wendepunkte kubischer Parabeln berechnen - A.05.04

Den Wendepunkt einer Funktion erhält man, wenn man die zweite Ableitung Null setzt und nach "x" auflöst. Den y-Wert erhält man, in dem man x in die Ausgangsgleichung f(x) einsetzt. (Normalerweise muss man den x-Wert auch noch in die dritte Ableitung einsetzen, aber bei kubischen Parabeln [Gleichungen dritten Grades] muss man das streng genommen nicht. Wenn man f''(x)=0 setzt und nach x auflöst, ist das IMMER ein Wendepunkt).


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Kubische Funktion, Funktionsanalyse / Kurvendiskussion, Beispiel 2b: Hoch-/ Tiefpunkt berechnen

Wir betrachten eine kubische Funktion und machen davon eine Funktionsuntersuchung (=Kurvendiskussion). Wir berechnen die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, machen eine Skizze der Funktion und lassen dadurch die kosmische Energie des Universums eine Entspannung unseres Seelenzustands bewirken.


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Kubische Funktion, Funktionsanalyse / Kurvendiskussion, Beispiel 2d: Tangente berechnen

Wir betrachten eine kubische Funktion und machen davon eine Funktionsuntersuchung (=Kurvendiskussion). Wir berechnen die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, machen eine Skizze der Funktion und lassen dadurch die kosmische Energie des Universums eine Entspannung unseres Seelenzustands bewirken.


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