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Analysis 3 | tiefere Einblicke in die Analysis

Im Hauptkapitel “2 Analysis - Tiefere Einblicke” behandeln wir Themen, die zwar nicht direkt zur Funktionsanalyse gehören, jedoch völlig regelmäßig als Fragen in Prüfungen und Klausuren mit auftauchen. (Diverse Extremwertaufgaben, zwei Funktionen, die sich berühren oder orthogonal aufeinander stehen, stetig oder differenzierbar sind und viel, viel mehr.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Trigonometrische Funktionen integrieren bzw. aufleiten | A.42.06

Die Stammfunktion von sin ist -cos, die Stammfunktion von cos ist sin. Die innere Ableitung muss (wie bei jeder Integration) in den Nenner (runter), (man wendet also ganz normal die “umgekehrte Kettenregel” bzw. “lineare Substitution” an). Für die Stammfunktion F(x) (böse gesagt: die Stammfunktion) kann man daher die Formel anwenden: f(x)=a*e^(bx+c) == F(x)=a/b*e^(bx+c).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte trigonometrischen Funktionen integrieren, Beispiel 2 | A.42.07

Braucht man die Stammfunktion von besonders hässliche trigonometrischen Funktionen, kann man eigentlich nur die Produktintegration (=partielle Integration) anwenden oder die Integration durch Substitution. Vielleicht kann man auch den ein- oder anderen Trick anwenden.


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Analysis 2 | Grundlagen der Funktionsanalyse: Polynom bzw. ganzrationale Funktion integrieren; Polynom-Integral bilden, Beispiel 1 | A.14.01

Wie lässt sich ein Polynom ableiten: Polynome (ganzrationale Funktion oder auch Parabeln höherer Ordnung) integriert man (man sagt auch aufleiten) nach einer einfachen Formel. Die Hochzahl wird um eins erhöht, die neue Hochzahl kommt runter in den Nenner(!) und wird mit den eventuell vorhandenen Vorzahlen verrechnet.


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Wurzel integrieren; Brüche integrieren, Beispiel 1 | A.14.02

Viele Wurzeln und Brüche kann man so umschreiben, so dass die Ableitung wesentlich einfacher wird. Brüche: Wenn oben im Zähler kein “x” steht, sondern nur Zahlen und unten im Nenner weder “+” noch “-”, kann man “x” von unten aus dem Nenner hoch in den Zähler bringen, indem man das Vorzeichen der Hochzahl wechselt. Wurzeln: man schreibt die Wurzel um, und zwar in Klammer hoch 0,5. Dritte Wurzeln werden zu “x” hoch “ein Drittel”,...


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Wurzel integrieren; Brüche integrieren, Beispiel 6 | A.14.02

Viele Wurzeln und Brüche kann man so umschreiben, so dass die Ableitung wesentlich einfacher wird. Brüche: Wenn oben im Zähler kein “x” steht, sondern nur Zahlen und unten im Nenner weder “+” noch “-”, kann man “x” von unten aus dem Nenner hoch in den Zähler bringen, indem man das Vorzeichen der Hochzahl wechselt. Wurzeln: man schreibt die Wurzel um, und zwar in Klammer hoch 0,5. Dritte Wurzeln werden zu “x” hoch “ein Drittel”,...


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Lineare Substitution für die Stammfunktion von verketteten Funktionen, Beispiel 6 | A.14.03

Die lineare Substitution wendet man an, wenn man die Stammfunktion von verketteten (=verschachtelten) Funktionen braucht. Im Zentrum des Ganzen steht eine Klammer, wobei man einmal auf das Innere der Klammer schaut und einmal auf das, was außerhalb der Klammer ist. Leitet man das Innere der Klammer ab, so muss man eine Zahl erhalten (nichts mit “x”!), anderenfalls funktioniert die lineare Substitution nicht. Diese Zahl, die innere Ableitung steht in der Stammfunktion immer außerhalb der Klammer, irgendwo unten im Nenner.


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Logarithmus-Funktion integrieren bzw. Stammfunktion bilden, Beispiel 4 | A.14.04

Einen ganz bestimmten Typ von Funktionen, kann man mit den “normalen” Integrationsregeln nicht bearbeiten. Es um Brüche, die oben nur eine Zahl stehen haben, unten einen Term der Form: “m*x+b” und KEINE Hochzahl. In diesem Fall ist das wesentliche Element der Stammfunktion der ln (Logarithmus zu Basis e).