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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Einseitiges Konfidenzintervall mit GTR oder CAS berechnen, Beispiel 3 | W.20.02

Bei einem einseitigen Konfidenzintervall hat man die W.S. von einem Intervall gegeben und sucht eine Grenze derart, dass der gesamte Bereich der Verteilung links von der Grenze oder der gesamte Bereich rechts von der Grenze genau der gegebenen W.S. entspricht. Bemerkung: Das Konfidenzintervall enthält immer den Erwartungswert und umfasst meist mehr als 80%, 90% der Gesamtwahrscheinlichkeit. Das andere Intervall heißt Ablehnungsbereich und ist (prozentual gesehen) meist recht klein.


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Beidseitiger Hypothesentest mit GTR oder CAS, Beispiel 5 - W.20.03

Bei einem beidseitigen Hypothesentest (bzw. Signifikanztest) tritt ein Ereignis ein, das eher selten passieren sollte (z.B. würfelt man mit einem Würfel 100 Mal und es erscheint nur fünf Mal eine Sechs). Nun ist die große Frage: War das nur Zufall oder stimmt etwas nicht? (z.B. könnte der Würfel getürkt sein und nicht jedes sechste Mal eine Sechs werfen). Um die Frage zu beantworten erstellt man ein beidseitiges Konfidenzintervall (Annahmebereich) und schaut, ob das Ereignis noch innerhalb dieses Intervalls liegt oder außerhalb. Liegt das Ereignis noch innerhalb des Konfidenzintervalls, so war´s wohl nur ein unglücklicher Zufall (Man nimmt die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei, an. Diese Annahme heißt Nullhypothese). Liegt das Ereignis außerhalb des Konfidenzintervalls (also im sogenannten Ablehnungsbereich), so stimmt etwas nicht (man verwirft die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei und behauptet, er wäre getürkt).


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Beidseitiger Hypothesentest über Normalverteilung berechnen, Beispiel 1 | W.20.07

Bei einem beidseitigen Hypothesentest (bzw. Signifikanztest) tritt ein Ereignis ein, das eher selten passieren sollte (z.B. würfelt man mit einem Würfel 100 Mal und es erscheint nur fünf Mal eine Sechs). Nun ist die große Frage: War das nur Zufall oder stimmt etwas nicht? (z.B. könnte der Würfel getürkt sein und nicht jedes sechste Mal eine Sechs werfen). Um die Frage zu beantworten erstellt man ein beidseitiges Konfidenzintervall (Annahmebereich) und schaut, ob das Ereignis noch innerhalb dieses Intervalls liegt oder außerhalb. Liegt das Ereignis noch innerhalb des Konfidenzintervalls, so war´s wohl nur ein unglücklicher Zufall (Man nimmt die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei, an. Diese Annahme heißt Nullhypothese). Liegt das Ereignis außerhalb des Konfidenzintervalls (also im sogenannten Ablehnungsbereich), so stimmt etwas nicht (man verwirft die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei und behauptet, er wäre getürkt).


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Beidseitiger Hypothesentest über Normalverteilung berechnen, Beispiel 6 | W.20.07

Bei einem beidseitigen Hypothesentest (bzw. Signifikanztest) tritt ein Ereignis ein, das eher selten passieren sollte (z.B. würfelt man mit einem Würfel 100 Mal und es erscheint nur fünf Mal eine Sechs). Nun ist die große Frage: War das nur Zufall oder stimmt etwas nicht? (z.B. könnte der Würfel getürkt sein und nicht jedes sechste Mal eine Sechs werfen). Um die Frage zu beantworten erstellt man ein beidseitiges Konfidenzintervall (Annahmebereich) und schaut, ob das Ereignis noch innerhalb dieses Intervalls liegt oder außerhalb. Liegt das Ereignis noch innerhalb des Konfidenzintervalls, so war´s wohl nur ein unglücklicher Zufall (Man nimmt die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei, an. Diese Annahme heißt Nullhypothese). Liegt das Ereignis außerhalb des Konfidenzintervalls (also im sogenannten Ablehnungsbereich), so stimmt etwas nicht (man verwirft die Hypothese, dass der Würfel in Ordnung sei und behauptet, er wäre getürkt).


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Stochastik | Statistik | Wahrscheinlichkeit: Konfidenzintervalle mit zwei Sigma-Regel, Beispiel 3 | W.20.13

Da es sehr häufig vorkommt, dass ein Konfidenzintervall eine Größe von 95% hat, gibt es dafür eine Formel, die die Rechnung erheblich vereinfacht. Die untere Grenze des Konfidenzintervalls erhält man, in dem man vom Erwartungswert das 1,96-fache der Standardabweichung abzieht, die obere Grenze erhält man, in dem man zum Erwartungswert das 1,96-fache der Standardabweichung dazuzählt. Erwartungswert berechnen, Standardabweichung berechnen, fertig.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Rechnen können mit GTR / CAS - Abituraufgabe 3b | A.29.04

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Es ist eine anwendungsorientierte Aufgabe, in welcher es um das Profil (den Querschnitt) von einem Flussbett geht. (Übrigens wohnt eine Krabbe drin). Mathematisch gesehen, ist so ein Flussbett ein Prisma. Hauptaufgaben sind: Berechnung einer Fläche; Abstand zweier Punkte und eine recht hässliche Berechnung mit einer Tangente.


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Rechnen können mit GTR / CAS - Übungen / Abituraufgabe 4 | A.29.05

Alle Fragen dieser vermischten Aufgaben orientieren sich an häufig auftretenden Abituraufgaben. Haben Sie versucht ein Ei mit den Augen eines Mathematikers zu sehen? Vermutlich ist diese Aufgabe also Ihr “erstes Mal”. Man nimmt eine Ellipse, betrachtet deren Rotation um die x-Achse und erhält ein Ei. Die Gleichung der benötigten Ellipse erhalten wir über eine Funktionsanpassung, Hauptproblematik ist die Berechnung des Volumens in mehreren Varianten.


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Exponentielles Wachstum berechnen, Beispiel 1 | A.30.03

Exponentielles Wachstum ist ein Wachstum, in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (Zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Typisch für exponentielles Wachstum ist die Verdopplungszeit (bei exponentieller Zunahme) bzw. die Halbwertszeit (bei exponentielles Abnahme). Egal wann man mit der Messung beginnt, es dauert bei jedem Vorgang immer gleich lang, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert) hat. Exponentielles Wachstum wird durch die Funktionsgleichung f(t)=a*e^(kt) beschrieben.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Funktionen spiegeln über Formel, Beispiel 2 | A.23.04

Beim Spiegeln von Funktionen an einer senkrechten Gerade der Form x=a, wird in der Funktion f(x) jeder Buchstabe “x” durch “2a-x” ersetzt. Benötigt man die Spiegelungen an einer waagerechten Geraden y=b, ist die gesuchte Funktion: g(x)=2b-f(x). Braucht man von einer Funktion die Punktspiegelung an einem Punkt S(a|b), so entspricht das zwei Achsenspiegelungen: nämlich der Spiegelung an der senkrechten Gerade x=a UND an der waagerechten Gerade y=b.


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