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Analytische Geometrie (Vektoren): Parameterform in Koordinatenform umwandeln, Beispiel 2 | V.01.06

Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Parameterform in eine Koordinatenform umzuwandeln. Die schnellste Möglichkeit verwendet das Kreuzprodukt. Allerdings wird das Kreuzprodukt nicht in allen Schularten bzw. von allen Lehrern akzeptiert. (Bsp1 - Bsp3). Die zweite Möglichkeit eine Koordinatengleichung zu erhalten, verwendet das Skalarprodukt (Bsp4 - Bsp6). Die dritte Möglichkeit, die wir hier vorstellen geht über ein LGS (lineares Gleichungssystem). Es gibt noch weitere gute Möglichkeiten wie man eine Ebenenform in eine andere umwandeln kann, aber irgendwo müssen wir hier mal auch aufhören ;)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Spurpunkte einer Ebene berechnen, Beispiel 1 | V.01.10

Spurpunkte von Ebenen sind Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Den Schnittpunkt mit der x1-Achse berechnet man, indem man in die Koordinatengleichung der Ebene x2=0 und x3=0 einsetzt und nach x1 auflöst. Ebenso berechnet man die Achsenschnittpunkte mit der x2- und der x3-Achse.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Gerade berechnen über laufenden Punkt | V.03.03

Den Abstand Punkt-Gerade kann man auf mehrere Arten berechnen. Eine der Möglichkeiten ist der Weg über den laufenden Punkt (oder auch fliegenden Punkt wie es heißt). Man schreibt die Gerade dafür in Punktform um, stellt einen Verbindungsvektor von diesem laufenden Punkt zum Ausgangspunkt auf. Das Skalarprodukt von diesem Verbindungsvektor (mitsamt Parameter) mit dem Richtungsvektor der Geraden muss Null werden. Hiermit erhält man die Lösung für den Parameter und somit den Lotfußpunkt. Der Abstand vom ursprünglichen Punkt zum Lotfußpunkt ist der gesuchte Abstand Punkt-Gerade.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Schnittpunkt Ebene-Kugel berechnen, Beispiel 1 | V.06.09

Schnittkreis einer Ebene mit einer Kugel: Schneidet man eine Ebene mit einer Kugel, so erhält man als Schnittfläche einen Kreis. Leider gibt es im dreidimensionalen keine Gleichung für einen Kreis. Man muss also im Normalfall “nur” den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises berechnen. Den Schnittkreismittelpunkt erhält man, indem man eine Lotgerade auf E aufstellt die durch den Kugelmittelpunkt geht und diese Lotgerade dann mit E schneidet. Mit Hilfe von Kugelradius, Abstand von Kugelmittelpunkt zu Ebene und Pythagoras erhält man den Schnittkreisradius.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Tangentialebene wenn Ebene Punkt berührt, Beispiel 3 | V.06.15

Im Fall “Ebene berührt Kugel” hat man es mit Tangentialebenen zu tun. Eine Tangentialebene ist eine Ebene, die eine Kugel berührt. Der Verbindungsvektor vom Mittelpunkt zum Berührpunkt ist der Normalenvektor der Tangentialebene. Zusammen mit dem Berührpunkt als Stützvektor, kann man eine Gleichung der Tangentialebene aufstellen.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Flächeninhalt Dreieck berechnen über Kreuzprodukt, Beispiel 2 | V.05.07

Die mit Abstand einfachste und schnellste Möglichkeit, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, geht über das Kreuzprodukt. Man stellt zwei Vektoren des Dreiecks auf, die vom gleichen Punkt ausgehen, multipliziert beide über Kreuz und erhält einen neuen Vektor. Von diesem bestimmt man den Betrag und das Ergebnis ist der gesuchte Flächeninhalt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt an Punkt spiegeln, Beispiel 1 | V.04.02

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen Punkt an einem anderen zu spiegeln. Nehmen wir an, man spiegelt P an S, um den Spiegelpunkt P* zu erhalten. Man schreibt den Punkt P in Vektorform um und zählt den Verbindungsvektor PS zwei mal dazu. Schon ist man fertig. Da S der Symmetriepunkt von P und P* ist, kann man auch die Formel S=(P+P*)/2 nach P* auflösen.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Volumen dreiseitige Pyramide berechnen, Beispiel 1 | V.07.03

Vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen) bilden eine dreiseitige Pyramide. Am häufigsten braucht man das Volumen davon. Das ist ein ziemliches Rumgerechne. Die Grundfläche berechnet sich über A=1/2*g*h. Die Grundlinie berechnet man über Abstand Punkt-Punkt. Die Höhe des Dreiecks berechnet man über Abstand Punkt-Gerade. Die Höhe der Pyramide berechnet man über Abstand Punkt-Ebene. Allerdings braucht man davor noch die Koordinatengleichung der Grundfläche.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorgeometrie: Flugzeugaufgabe 2d | V.09.02

Flugzeugaufgaben (teilweise heißen sie auch U-Boot-Aufgaben oder sonstwie) sind immer vom gleichen Typ: Zwei Flugzeuge oder U-Boote oder Schiffe oder irgendwelche Teile bewegen sich entlang je einer Geraden. Meist ist die Theorie, die dahinter steckt recht einfach, dennoch gibt es Besonderheiten. Das Wichtigste ist wohl, dass die Parameter der Geraden für die vergangene Zeit stehen. In den Fragestellungen geht es um Flugbahnen (hier ist es wichtig, dass beide Geraden VERSCHIEDENE Parameter haben) oder um die Flugzeuge selber (hier ist es wichtig, dass beide Geraden den GLEICHEN Parameter haben).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorzug | V.10.03

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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