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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorgeometrie: Flugzeugaufgabe 2d | V.09.02

Flugzeugaufgaben (teilweise heißen sie auch U-Boot-Aufgaben oder sonstwie) sind immer vom gleichen Typ: Zwei Flugzeuge oder U-Boote oder Schiffe oder irgendwelche Teile bewegen sich entlang je einer Geraden. Meist ist die Theorie, die dahinter steckt recht einfach, dennoch gibt es Besonderheiten. Das Wichtigste ist wohl, dass die Parameter der Geraden für die vergangene Zeit stehen. In den Fragestellungen geht es um Flugbahnen (hier ist es wichtig, dass beide Geraden VERSCHIEDENE Parameter haben) oder um die Flugzeuge selber (hier ist es wichtig, dass beide Geraden den GLEICHEN Parameter haben).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Schiefe Projektion, Schattenaufgaben; Beispiel 1 | V.09.04

Schiefe Projektionen sind sogenannte Schattenaufgaben. Es geht dabei darum, dass Licht auf irgendwelche Gegenstände wirft und auf den Boden oder eine andere Ebene Schatten fällt. Das Licht bzw. die Lichtstrahlen werden durch eine Gerade beschrieben. Diese Gerade schneidet man mit dem, auf das der Schatten fällt und hat vermutlich bereits das gewünschte Ergebnis.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Umkugel einer Pyramide berechnen, Beispiel 2 | V.09.05

Eine Umkugel einer Pyramide ist eine Kugel, die durch alle Eckpunkte der Pyramide geht. Man stellt zuerst die Gerade auf, die von der Pyramidenspitze zum Mittelpunkt der Grundfläche geht. Diese Gerade schreibt man in Punktform um. Da der Kugelmittelpunkt (aus Symmetriegründen) auf dieser Gerade liegen muss, hat man bereits den Mittelpunkt (wir nennen ihn “M”) in Abhängigkeit von einem Parameter. Nun berechnet man den Abstand von M zur Pyramidenspitze, berechnet den Abstand von M zu einer Ecke der Grundfläche (beides in Abhängigkeit vom Parameter) und setzt beide Abstände gleich. Als Lösung der Gleichung erhält man den Parameter und damit den Kugelmittelpunkt und -radius.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit von Vektoren berechnen, Beispiel 2 | V.10.01

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Teilverhältnis, Beispiel 3 | V.10.02

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Vektorzug | V.10.03

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Skalarprodukt Beweise, Beispiel 2 | V.10.04

Die Frage nach linearer (Un)Abhängigkeit sieht man in der vektoriellen Geometrie sehr häufig. Die Definition lautet wie folgt: Gegeben sind beliebig viele Vektoren: A, B, C, … und genau so viele Parameter a, b, c, … Man betrachtet und löst nun das Gleichungssystem: a*A+b*B+c*C+...=0 Wenn für ALLE Parameter die Lösung a=0, b=0, c=0, … rauskommt sind die Vektoren “linear unabhängig”. In jedem anderen Fall sind sie “linear abhängig”. Die Definition für eine “Linearkombination” lautet ähnlich: Seien A, B, C,... wieder Vektoren und a, b, c,... wieder irgendwelche Parameter. Der Vektor A ist eine Linearkombination von B, C, D, … falls die Gleichung A=b*B+c*C+... mindestens eine Lösung besitzt. Von einer “Basis” spricht man, wenn man genauso viele linear unabhängige Vektoren hat, wie die Dimension des Raumes ist (in der Ebene braucht man also zwei lin. unabh. Vektoren, im 3dim. Raum braucht man vier lin. unabh. Vektoren, im 4dim. Raum sind es vier Vektoren, usw...) Jetzt das Ganze anschaulich: Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie in völlig unterschiedliche Richtungen zeigen, man darf z.B. auch nicht aus zwei Vektoren einen dritten erstellen können. Ein Vektor ist eine Linearkombination von anderen Vektoren, wenn man Letztere derart miteinander addieren und multiplizieren kann, dass als Ergebnis der ersten Vektor rauskommt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Volumen dreiseitige Pyramide berechnen über Kreuzprodukt, Beispiel 2 | V.07.04

Vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen) bilden eine dreiseitige Pyramide. Am häufigsten braucht man das Volumen davon. Das geht ziemlich schnell, wenn man die Formel über das Kreuzprodukt verwenden darf. Diese Formel heißt “Spatprodukt”. Einen beliebigen Eckpunkt aussuchen, von hier aus die drei ausgehenden Vektoren aufstellen. Mit zwei dieser Vektoren ein Kreuzprodukt bilden, mit dem Ergebnis davon und dem dritten Vektor das Skalarprodukt bilden. Das Ergebnis durch 6 teilen. Fertig. Geht schnell.


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