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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Funktionen Schaubildern zuordnen, Beispiel 3 | A.27.02

Eine wichtige Aufgabe ist oft, Schaubildern ihre Funktionen zuzuordnen. Meist sieht es so aus, dass man mehrere Schaubilder gegeben hat, mehrere Funktionsgleichungen gegeben und nun muss man die Funktionsgleichungen den Schaubildern zuordnen. Es hilft unheimlich die Schaubilder der Standardfunktionen zu kennen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubild einer Ableitungsfunktion zeichnen / skizzieren, Beispiel 1 | A.27.03

Es gibt eine relativ gute Methode, das Schaubild einer Ableitungsfunktion zu zeichnen: man zeichnet in einem beliebigen Punkt eine Tangente und misst deren Steigung. Die Steigung der Tangente ist der y-Wert der Ableitungsfunktion. Leider ist diese Methode nicht die schnellste. Die Methode über die sogenannte “NEW”-Tabelle ist schneller, funktioniert aber bei manchen Schaubildern schlecht. Das Schaubild einer Stammfunktion zu zeichnen ist ein kleines bisschen umständlicher. Hier ein paar Beispiele zum Ableitung skizzieren und zum Stammfunktion skizzieren.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Newton-Verfahren Nullstellen bestimmen, Beispiel 2 | A.32.02

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Newton-Verfahren (auch: Newton-Iteration) verwendet man, um Nullstellen einer Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Für die Newtoniteration gibt es eine Formel. In diese Formel setzt man einen (beliebigen) x-Wert ein und erhält als Ergebnis ein besseren x-Wert, also einen x-Wert der näher an der tatsächlichen Nullstelle liegt. Dieses Ergebnis setzt man abermals in die Formel ein und erhält einen noch besseren x-Wert. Das Ganze kann man beliebig oft wiederholen und erhält x-Werte die immer näher bei der tatsächlichen Nullstelle liegen. So ein Verfahren nennt man Iteration. Zwar hat das Newtonverfahren auch ein paar Macken, im Großen und Ganzen ist es jedoch wahrscheinlich das beste und schnellste Verfahren, um Gleichungen zu lösen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Intervallschachtelung Nullstellen bestimmen, Beispiel 2 | A.32.03

Es gibt in Mathe viele Gleichungen, die sich nicht lösen lassen. Das Intervallhalbierungsverfahren (auch Bisektionsverfahren) bietet die Möglichkeit Nullstellen der Gleichung zumindest näherungsweise zu bestimmen. Im Prinzip ist die Methode der Intervallhalbierung eine einfache Intervallschachtelung. Blöd gesagt rät man so lange irgendwelche zwei x-Werte, bis man zwei gefunden hat, deren y-Wert unterschiedliche Vorzeichen haben. Hat man nämlich zwei Punkte mit unterschiedlichen Vorzeichen in den y-Werten, so MUSS dazwischen eine Nullstelle sein. Nun sucht man zwischen diesen Punkten irgendeinen x-Wert, berechnet den y-Wert und betrachtet den y-Wert. Je nach Vorzeichen hat man nun wieder ein kleineres Intervall, in welchem die Nullstelle liegen muss. Das Ganze wiederholt man so lange, bis das Intervall sehr, sehr klein ist oder bis man keine Lust mehr hat. Eine von mehreren Abwandlung der Intervallhalbierung ist die Regula Falsi. Ich finde die Zeitersparnis davon jedoch nicht nennenswert, daher führe ich sie an dieser Stelle nicht vor.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Trapezregel Flächeninhalt bestimmen, Beispiel 2 | A.32.05

Die Sehnen-Trapez-Regel (oder Trapezregel)ist ein Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Die Sehnen-Trapezformel liefert im Normalfall bessere Ergebnisse als die Keplerschen Fassregel (siehe Kap.2.12.4), dafür ist sie jedoch nicht so schnell und supereinfach. Trotzdem ist die Sehnentrapezregel nicht schwer zu verstehen. Eigentlich setzt man nur x- und y-Werte in eine Formel ein. (Die Sehnen-Trapez-Regel funktioniert damit ähnlich wie die Simpson-Regel oder die Tangenten-Trapez-Regel und liefert auch ähnlich gute Ergebnisse. [Die letzten beiden Methoden gibt’s jedoch nicht auf der Mathe-Seite]).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: Umsatz, Kosten, Gewinn berechnen, Beispiel 2 | A.33.01

Die Grundlagen der Kostenrechnung sind sehr einfach. Die Einnahmen des Unternehmens heißen Umsatz oder Erlös und werden mit E(x) bezeichnet. Die Erlösfunktion berechnet man über Preis mal Menge. Es gilt also: E(x)=p*x. Der Gewinn ist natürlich die Differenz von Erlös und Kosten. Dementsprechend erhält man die Gewinnfunktion durch die Erlösfunktion abzüglich der Kostenfunktion, also G(x)=E(x)-K(x).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: Grundbegriffe und wie man damit rechnet | A.33.02

In den meisten Aufgaben ist die Kostenfunktion eine Gleichung dritten Grades, die Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade. Beide haben zwei Schnittpunkte im positiven Bereich. Zwischen den beiden Schnittpunkten fährt das Unternehmen Gewinn ein, außerhalb der Schnittpunkte macht es Verlust. Die beiden Schnittpunkte heißen dementsprechend Gewinnschwelle (oder Nutzenschwelle) und Gewinngrenze (oder Nutzengrenze).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: Fachbegriffe, Beispiel 2 | A.33.03

In der Kostenrechnung gibt es mehrere Begriffe, die für die meisten Leute sehr verwirrend sind. Es geht um Fixkosten, variable Stückkosten, Grenzkosten, Betriebsoptimum, Betriebsminimum, und einiges mehr. Im Großen und Ganzen nicht schwer, jedoch muss man sich die Bedeutung der Begriffe genau einprägen.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: So löst man Extremwertaufgaben | A.21.01

Meist kann man folgendermaßen vorgehen: man schaut, was überhaupt maximal werden muss (z.B. könnte das eine Dreiecksfläche sein). Die Formel für diese Größe sucht man aus der Formelsammlung raus (z.B. bei der Dreiecksfläche: A=½·g·h). Nun ist das große Ziel, in dieser Formel nur noch EINE Unbekannte drin zu haben. Wie erreicht man das? Man hat immer noch eine weitere Information gegeben (z.B. der Umfang des Dreieck ist gegeben oder ein Eckpunkt liegt auf der Funktion oder...). Diese Information (welche “Nebenbedingung” heißt), verwendet man irgendwie (je nach Aufgabenstellung) und hat dann irgendwann mal die Ausgangsformel (in unserem Beispiel: die Dreiecksfläche) in Abhängigkeit von nur noch einer einzigen Variablen da stehen (Nun heißt diese Formel “Zielfunktion”). Ab jetzt ist es einfach: Ableiten und Null setzen (oder falls man einen GTR/CAS verwenden darf: einfach Maximum bestimmen).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgaben im Alltag: Zylinder in einer Kugel, Volumen einer Schachtel, Beispiel 4 | A.21.02

Bei einigen Typen von Extremwertaufgaben sind keine Funktionen im Spiel. (Z.B. steckt ein Zylinder in einer Kugel, der dann maximales Volumen haben soll. Oder das Volumen einer Schachtel soll maximal werden, die aus einem Karton gebastelt wird oder …). Es geht also um Anwendungen aus dem “Alltag”. Ich nenne diese reale Anwendungen, aber eigentlich haben sie keinen richtigen, offiziellen Namen. Übrigens vereinfacht bei diesen Aufgaben sehr häufig der Strahlensatz die Rechnung sehr stark. (Also: Strahlensatz am Start?!?)


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