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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgaben im Alltag: Zylinder in einer Kugel, Volumen einer Schachtel, Beispiel 1 | A.21.02

Bei einigen Typen von Extremwertaufgaben sind keine Funktionen im Spiel. (Z.B. steckt ein Zylinder in einer Kugel, der dann maximales Volumen haben soll. Oder das Volumen einer Schachtel soll maximal werden, die aus einem Karton gebastelt wird oder …). Es geht also um Anwendungen aus dem “Alltag”. Ich nenne diese reale Anwendungen, aber eigentlich haben sie keinen richtigen, offiziellen Namen. Übrigens vereinfacht bei diesen Aufgaben sehr häufig der Strahlensatz die Rechnung sehr stark. (Also: Strahlensatz am Start?!?)


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Extremwertaufgabe Dreieck / Viereck: maximale Fläche berechnen, Beispiel 1 | A.21.03

Eine der häufig auftauchenden Extremwertaufgaben: Man muss die maximale Fläche eines Dreiecks oder die maximale Fläche eines Rechtecks bestimmen, wobei ein Eckpunkt (oder zwei) auf einer vorgegebenen Funktion liegt. Man verwendet die Formel A=½·g·h bzw. A=a·b. Eine der Seiten ist meist eine waagerechte Strecke (die man als Differenz der x-Werte berechnet), die andere Seite ist meist senkrecht (wird also als Differenz der y-Werte berechnet). Dieses in die Formel einsetzen und schon ist die Aufgabe halb gelöst.


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Volumen Kegel und Volumen Zylinder berechnen, Beispiel 3 | A.21.05

Einen Kegel erhält man, wenn ein Dreieck um eine Seite rotiert, einen Zylinder erhält man, wenn ein Rechteck um eine der Seiten rotiert. Ein Kegelvolumen berechnet man über: V=pi/3*r²*h, ein Zylindervolumen berechnet man über V=pi*r²*h. Man braucht also in beiden Fällen den Radius und die Höhe. Beides sind im Normalfall waagerechte oder senkrechte Strecken, welche man also über die Differenz der x-Werte bzw. der y-Werte berechnet. Alles wird in die Volumenformel eingesetzt und das Maximum/Minimum berechnet. Schwuppdiwupp ist der größte Kegel (bzw. der größte Zylinder) da.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Abstand Punkt-Funktion berechnen | A.21.07

Der Abstand eines Punkt P zu einer Funktion f(x) ist natürlich der KLEINSTE Abstand von diesem Punkt zur Funktion. Man stellt eine Normale auf die Funktion im unbekannten Punkt P(u|f(u)) auf und macht eine Punktprobe mit dem Punkt P. Man erhält den gewünschten Wert für u, welcher der x-Wert des gesuchten Punktes ist. (Abstand Punkt Funktion gehört nicht zu den häufigsten Aufgaben).


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Abstand Punkt-Funktion berechnen, Beispiel 2 | A.21.07

Der Abstand eines Punkt P zu einer Funktion f(x) ist natürlich der KLEINSTE Abstand von diesem Punkt zur Funktion. Man stellt eine Normale auf die Funktion im unbekannten Punkt P(u|f(u)) auf und macht eine Punktprobe mit dem Punkt P. Man erhält den gewünschten Wert für u, welcher der x-Wert des gesuchten Punktes ist. (Abstand Punkt Funktion gehört nicht zu den häufigsten Aufgaben).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Mit Keplersche Fassregel Flächeninhalt bestimmen, Beispiel 1 | A.32.04

Es gibt Verfahren, um Flächeninhalte näherungsweise zu bestimmen. Eines dieser Näherungsverfahren ist die Keplersche Fassregel. Der Vorteil an der Keplerschen Fassregel ist der, dass sie recht einfach ist und recht akzeptable, also recht genaue Ergebnisse liefert. Der große Nachteil ist: man weiß nicht wie genau das erhaltene Ergebnis ist. Man weiß nicht, ob die errechnete Näherung recht gut ist oder ob sie ziemlich schlecht ist. Es gibt andere Verfahren, die bessere Ergebnisse für eine Flächenannäherung liefert, diese sind meist jedoch etwas komplizierter.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: kurze Einführung | A.33

Die Kostenrechnung ist ein Bereich der Wirtschaftslehre. Es geht natürlich um die Produktionsmenge (das ist “x”), dazu gibt es eine Funktion für die Kosten, eine Funktion für die Einnahmen und eine für den Gewinn, wie überall in der Betriebswirtschaft.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Kostenrechnung: Grundbegriffe und wie man damit rechnet, Beispiel 2 | A.33.02

In den meisten Aufgaben ist die Kostenfunktion eine Gleichung dritten Grades, die Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade. Beide haben zwei Schnittpunkte im positiven Bereich. Zwischen den beiden Schnittpunkten fährt das Unternehmen Gewinn ein, außerhalb der Schnittpunkte macht es Verlust. Die beiden Schnittpunkte heißen dementsprechend Gewinnschwelle (oder Nutzenschwelle) und Gewinngrenze (oder Nutzengrenze).


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Rotationsvolumen einer Funktion über Umkehrfunktion berechnen; Rotation um y-Achse, Beispiel 3

Benötigt man das Rotationsvolumen einer Funktion um die y-Achse, so lässt man die Umkehrfunktion um die x-Achse rotieren. Im Detail: Man benötigt das Volumen, das durch die Rotation um die y-Achse von einer Fläche entsteht. Zuerst bestimmt man die Umkehrfunktion von f(x) und lässt diese Umkehrfunktion nun “ganz normal” um die x-Achse rotieren. Die Grenzen sind hierbei die y-Werte!! Das erhaltene Volumen ist das gesuchte.


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