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Parabel verschieben, Beispiel 4 - A.04.08

Eine Parabel verschiebt man am einfachsten, indem man zuerst den Scheitelpunkt der Parabel berechnet (z.B. über quadratische Ergänzung), diesen Scheitelpunkt dann verschiebt und mit dem verschobenen Scheitelform dann wieder die Scheitelform der Parabel aufstellt (und die dann in Normalform umwandelt, falls des gewünscht ist).


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Parabel strecken, Beispiel 4 | A.04.09

Strecken und Stauchen sind in Mathe mehr oder weniger das Gleiche. Staucht man eine Parabel (quetscht sie also zusammen) entspricht das einem Strecken mit einem Streckfaktor von weniger als 1. Man kann Parabel auf unterschiedliche Weisen strecken. Am wichtigsten ist die Streckung in y-Richtung. Hier muss man unterscheiden, ob man die Parabel von der x-Achse aus oder vom Scheitelpunkt aus streckt. Streckt man die Parabel an der x-Achse, ist das sehr einfach. Man multipliziert die ganze Parabel einfach mit dem Streckfaktor (egal in welcher Form die Parabel gegeben ist). Streckt man die Parabel vom Scheitelpunkt aus, muss man die Parabel in Scheitelform bringen [y=a*(x-xs)²+ys] und multipliziert nun nur “a” mit dem Streckfaktor. Anschließend kann man die Scheitelform wieder in Normalform umwandeln.


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Achsenabschnitt und Achsenschnittpunkte (Nullstellen) berechnen, Beispiel 2 - A.04.10

Eine der sehr wichtigen Berechnungen bei Parabeln sind die Achsenschnittpunkte. Der Schnittpunkt mit der y-Achse heiß auch y-Achsenabschnitt. Man erhält diesen, in dem man x=0 in die Parabel einsetzt. Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen auch Nullstellen. Man erhält diese, in dem man die Parabelgleichung Null setzt und dann (meist die Mitternachtsformel anwendet, sprich p-q-Formel oder a-b-c-Formel). Je nach dem, was unter der Wurzel rauskommt, hat man keine/eine oder zwei Nullstellen.


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Schnittpunkte einer Parabel mit einer Gerade berechnen, Beispiel 2 | A.04.11

Sucht man den Schnittpunkt einer Parabel mit einer Gerade, muss man beide gleichsetzen. Nun bringt man alles auf eine Seite und kann mit der Mitternachtsformel (p-q-Formel oder a-b-c-Formel) x berechnen. Man erhält keine/eine/zwei Lösungen für x. Setzt man x in die Parabel oder in die Gerade ein, hat man auch die y-Werte und damit den kompletten Schnittpunkt (bzw. die Schnittpunkte).


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Tangente an Parabel | A.04.13

Eine Gerade, die eine Parabel (oder irgend etwas anders) berührt, heißt “Tangente”. Eine Tangente hat mit einer Parabel nur einen einzigen gemeinsamen Punkt: den Berührpunkt. Wie zeigt man also, dass eine Gerade Tangente von einer Parabel ist? Man berechnet den Schnittpunkt (setzt also beide gleich) und sollte nur eine einzige Lösung für x erhalten (unter der Wurzel kommt Null raus). Wenn tatsächlich nur EINE Lösung für x rauskommt, ist das schon der Beweis, dass die Gerade eine Tangente ist. Der erhaltene x-Wert ist natürlich der x-Wert des Berührpunktes.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und Scheitelpunkt, Beispiel 1 | A.04.14

Hat man von einer Normalparabel nur den Scheitelpunkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein und ist fertig (“a” ist ja 1 oder -1, je nachdem ob die Parabel noch oben oder unten geöffnet ist). Eventuell kann man die Scheitelform noch in die Normalform umwandeln.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und Scheitelpunkt, Beispiel 3 | A.04.14

Hat man von einer Normalparabel nur den Scheitelpunkt gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch “Steckbriefaufgabe”), so setzt man die Koordinaten des Scheitelpunkts in die Scheitelform ein und ist fertig (“a” ist ja 1 oder -1, je nachdem ob die Parabel noch oben oder unten geöffnet ist). Eventuell kann man die Scheitelform noch in die Normalform umwandeln.


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Steckbriefaufgaben zu Normalparabel und zwei Punkten, Beispiel 3 - A.04.15

Hat man von einer Normalparabel zwei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so beginnt man mit dem Ansatz y=x²+px+q und setzt man die Koordinaten beider Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. Beide Gleichungen zieht man von einander ab, so dass der Parameter "q" weg fällt und erhält "p". Setzt man nun "p" in eine der Gleichungen ein, erhält man "q". Nun "p" und "q" in y=x²+px+q einsetzen und sich über die fertige Parabelgleichung freuen.


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit drei Punkten - A.04.17

Hat man von einer beliebigen Parabel drei Punkte gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so beginnt man mit dem Ansatz y=ax²+bx+c und setzt man die Koordinaten aller drei Punkte ein. Für jeden Punkt erhält man eine Gleichung. (Oft erhält man aus einer Gleichung schon direkt "c"). Die erhaltenen Gleichungen muss man nun irgendwie so miteinander verrechnen, dass man "a", "b" und "c" erhält. (Zur Frage WIE das geht, siehe evtl. Kap G.02 und Unterkapitel).


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Steckbriefaufgaben zu Parabel mit Nullstellen, Beispiel 1 - A.04.18

Hat man von einer Parabel beide Nullstellen gegeben und muss die Parabelgleichung bestimmt (man nennt solche Aufgaben auch "Steckbriefaufgabe"), so gibt es zwei mögliche Vorgehensweisen. Die komplizierte Methode wäre, die Nullstellen als normale Punkte zu betrachten und dann ein Gleichungssystem aufzustellen (siehe A.04.15 oder A.04.17). Die geschicktere Methode wäre die x-Werte der Nullstellen in die Linearfaktorform einzusetzen [y=a(x-x1)(x-x2), wobei x1 und x2 die Nullstellen sind]. Weiß man, dass es sich um eine Normalparabel handelt, kennt man auch schon "a" (a=1 oder a=-1). Ist es keine Normalparabel, so muss noch ein weiterer Punkt gegeben sein. Dessen Koordinaten setzt man zusätzlich in die Linearfaktorform ein und berechnet nun "a". Wie dem auch sei, nun setzt man "a", "x1" und "x2" in die Linearfaktorform ein und ist fertig. Evtl. kann man die Klammern ausmultiplizieren um die Normalform der Parabel zu erhalten.


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