Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Aus dem Schaubild einer trigonometrischen Funktion die Funktionsgleichung erstellen | A.42.10.

Es gibt einen Haufen periodischer Vorgänge in der Natur. Z.B. sieht man öfter die Aufgabe, dass monatliche Durchschnittstemperaturen angeben sind, diese werden als Punkte eingezeichnet und die Funktion kann eingezeichnet werden. Nun braucht man die Funktionsgleichung, die die Temperatur beschreibt. Wie geht man vor? Die waagerechte Mittellinie d liest man zuerst aus. Der Abstand hiervon zu den Hoch- bzw. Tiefpunkten ist die Amplitude a. Der Abstand zwischen zwei Tiefpunkten oder zwischen zwei Hochpunkten ist die Periode. Daraus kann man b bestimmen. Zum Schluss liest man c aus (welches der x-Wert vom Hochpunkt [bei cos] bzw. der x-Wert des Wendepunkts [bei sin] ist). Die Parameter setzt man in y=a·sin(b[x-c])+d ein.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse einer trigonometrischen Funktion, Beispiel 1 | A.42.11

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von trigonometrischen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, die Periode der Funktion und fertigen eine Skizze.)


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen, Beispiel 3 | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Periode von trigonometrischen Funktionen berechnen, Beispiel 2 | A.42.01

Normalerweise wiederholen sich trigonometrische Funktionen innerhalb einer Periode. Die Periode einer Sinus- oder Kosinus-Funktion liegt bei 2*Pi (Pi=3,1415...), die der Tangens-Funktion bei Pi. Allgemein hat eine Funktion der Form f(x)=a*sin(b(x-c))+d oder g(x)=a*cos(b(x-c))+d die Periode von Per=2*Pi/b. Bei komplizierteren Funktionen kann die Periode teilweise nicht mehr so einfach angegeben werden.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Einfache trigonometrische Gleichungen lösen, Beispiel 3 | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Einfache trigonometrische Gleichungen lösen, Beispiel 5 | A.42.02

Trigonometrische Gleichungen können leider beliebig komplex sein. Die einfachen Gleichungen kann man auf die Form: sin(Ding)=Zahl bzw. cos(Ding)=Zahl (ebenso mit tan) zurückführen (in “Ding” sollte ein “x” drinstecken). Mit einer Wertetabelle oder mit einem Taschenrechner kann man nun zuerst nach “Ding” auflösen, man erhält: Ding=arcsin(Zahl) bzw. Ding=arccos(Zahl), anschließend kann man meist recht einfach nach “x” auflösen. Bemerkung: Viele Schüler kennen arcsin, arccos, etc.. nur als sin-1, cos-1, etc.. Mathematisch ist das jedoch nicht korrekt (und kann in der höheren Mathematik sogar zu Verwechslungen führen.) Die korrekte Schreibweise geht also über Arcussinus=arcsin, Arcuskosinus=arccos, ..


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Zweite Lösung einer trigonometrischen Gleichung bestimmen, Beispiel 3 | A.42.03

Wenn man eine Gleichung in der Trigonometrie von Hand lösen muss (bzw. mit einem einfachen Taschenrechner), steht man normalerweise irgendwann mal vor dem Problem, dass der Taschenrechner einem eine einzige Lösung liefert. Tatsächlich gibt es jedoch normalerweise schon innerhalb einer einzigen Periode zwei Lösungen. Wie kommt man auf die zweite Lösung? 1.Zuerst löst man nach sin(...) oder cos(...) auf. 2.Man substituiert das Argument (d.h. Man wendet Substitution an, in dem man das Innere der Klammer “u” nennt). 3.Man bestimmt mittels Taschenrechner oder Wertetabelle einen Wert von “u”. 4.(Der entscheidende Schritt) Bei sin: die zweite Lösung lautet: u2=Pi-u1. Bei cos: u2=-u1. 5.Man resubstituiert, um aus “u1” und “u2” die Werte “x1” und “x2” zu erhalten. 6.erhaltenen x-Werte kann man beliebig oft um je eine Periode nach links oder rechts verschieben (falls das notwendig ist).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Komplizierte trigonometrische Funktion ableiten, Beispiel 2 | A.42.05

Bei hässlicheren trigonometrischen Funktionen kann in der Ableitung noch die Produktregel oder die Kettenregel (evtl. auch Quotientenregel) auftauchen. In der Theorie ist das auch schon alles. In der Praxis wird’s manchmal etwas hässlicher.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung