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Trigonometrie | Stereometrie: Winkelberechnung mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens; Beispiel 3 | T.01.01

Ein wichtiger Bestandteil der Trigonometrie ist die Winkelberechnung. Es gibt verschiedenste Zusammenhänge zwischen Winkeln, zwischen Winkeln und den Seitenlängen im Dreieck, Viereck, … und (fast) alle wollen wir hier sehen!!! Die Berechnungen funktionieren mit Hilfe der Winkelfunktionen: Sinus, Kosinus und Tangens.


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Trigonometrie | Stereometrie: Winkelsumme im Dreieck, Winkelsumme im Viereck; Beispiel 4 | T.01.02

In einem Dreieck ist die Summe aller drei Winkel immer 180°. Die Winkelsumme im Viereck beträgt 360°, im Fünfeck 540°, … Man könnte also sagen, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt und dann kommen für jeden weiteren Eckpunkt den die geometrische Figur hat, jeweils 180° dazu. Das ist wunderschön.


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Trigonometrie | Stereometrie: Cosinus und arccos und wie man richtig damit rechnet | T.01.05

Der Kosinus ist eine sogenannte Winkelfunktion und ist an und für sich unanschaulich. Er drückt aber im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse aus, so dass man damit eine Beziehung zwischen Winkeln und den Seitenlängen des Dreiecks erhält. Das Verhältnis zwischen Ankathete (A) und Hypotenuse (H) nennt man Arkuscosinus (im Taschenrechner heißt dieses “cos-1”). Es gilt also cos(Winkel) = A/H bzw. Winkel = arccos(A/H).


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Trigonometrie | Stereometrie: Tangens und arctan und wie man richtig damit rechnet | T.01.06

Der Tangens ist eine sogenannte Winkelfunktion und ist an und für sich unanschaulich. Er drückt aber im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete aus, so dass man damit eine Beziehung zwischen Winkeln und den Seitenlängen des Dreiecks erhält. Das Verhältnis zwischen Gegenkathete (G) und Ankathete (A) nennt man Arkustangens (im Taschenrechner heißt dieses “tan-1”). Es gilt also tan(Winkel) = G/A bzw. Winkel = arctan(G/A).


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Trigonometrie | Stereometrie: Tangens und arctan und wie man richtig damit rechnet; Beispiel 3 | T.01.06

Der Tangens ist eine sogenannte Winkelfunktion und ist an und für sich unanschaulich. Er drückt aber im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete aus, so dass man damit eine Beziehung zwischen Winkeln und den Seitenlängen des Dreiecks erhält. Das Verhältnis zwischen Gegenkathete (G) und Ankathete (A) nennt man Arkustangens (im Taschenrechner heißt dieses “tan-1”). Es gilt also tan(Winkel) = G/A bzw. Winkel = arctan(G/A).


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Trigonometrie | Stereometrie: Gradmaß und Bogenmaß und wie man richtig damit rechnet, Beispiel 3 | T.01.07

Normalweise berechnet man Winkel in Grad. Wenn man allerdings nicht Winkel braucht, sondern Winkelfunktionen [y=sin(x), y=cos(x),..] dann ist die Messung in Grad ziemlich ungeschickt (die Gründe sind erst mal egal), in diesem Fall misst man Winkel in Bogenmaß (=Radianten).Kurz gesagt: will man die Größe eines Winkels wissen, stellt man den Taschenrechner auf Gradmaß (“DEG”), arbeitet man mit Sinus- oder Kosinus-Funktionen, so stellt man den Taschenrechner auf Bogenmaß (“RAD”).


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Trigonometrie | Stereometrie: Satz des Pythagoras und wie man richtig damit rechnet, Beispiel 3 | T.02.01

Der Satz des Pythagoras (auch Hypothenusensatz)ist einer der bekanntesten Sätze der Mathematik. Die Aussage ist, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich ist der Summe der Kathetenquadrate ist. (a²+b²=c²). Die Hypotenuse (=c) liegt dabei gegenüber des rechten Winkels. Die anderen beiden Seiten sind die Katheten.


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Trigonometrie | Stereometrie: Prisma berechnen: Prisma-Volumen, Höhe, Deckfläche, schiefes Prisma | T.06.03

Ein Prisma ist ein Körper, der unten und oben zwei parallele Flächen hat. Die Flächen müssen allerdings komplett gleich sein. So gesehen sind recht viele Körper Prismen (z.B. Zylinder, Würfel, Quader). Das Praktische an einem Prisma ist die Berechnung des Volumens. Das Volumen jedes Prismas berechnet man über “Grundfläche mal Höhe”. (Wie man die Grundfläche ist ein ganz anderes Problem, je nachdem ob die Grundfläche ein Dreieck, ein Viereck, ein Kreis oder sonst irgendetwas ist, muss man noch dementsprechende Berechnung anstellen.) Ach ja: wenn beide Deckflächen genau senkrecht übereinander stehen, sprich man von einem “senkrechten Prisma”. Anderenfalls ist es ein “schiefes Prisma”.


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Trigonometrie | Stereometrie: Prisma berechnen: Prisma-Volumen, Höhe, Deckfläche, schiefes Prisma; Beispiel 2 | T.06.03

Ein Prisma ist ein Körper, der unten und oben zwei parallele Flächen hat. Die Flächen müssen allerdings komplett gleich sein. So gesehen sind recht viele Körper Prismen (z.B. Zylinder, Würfel, Quader). Das Praktische an einem Prisma ist die Berechnung des Volumens. Das Volumen jedes Prismas berechnet man über “Grundfläche mal Höhe”. (Wie man die Grundfläche ist ein ganz anderes Problem, je nachdem ob die Grundfläche ein Dreieck, ein Viereck, ein Kreis oder sonst irgendetwas ist, muss man noch dementsprechende Berechnung anstellen.) Ach ja: wenn beide Deckflächen genau senkrecht übereinander stehen, sprich man von einem “senkrechten Prisma”. Anderenfalls ist es ein “schiefes Prisma”.


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Trigonometrie | Stereometrie: Quadratische Pyramide berechnen, Beispiel 3 | T.06.04

Ein quadratische Pyramide hat als Grundfläche natürlich ein Quadrat und oben ist eine Spitze (wie bei jeder Pyramide und bei jedem Spitzkörper). Liegt die Spitze genau über der Grundfläche, redet man von einer senkrechten quadratischen Pyramide. Diese gehört zu den Körper, denen Sie am häufigsten in Aufgaben begegnen werden. V=1/3*a²*h


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