Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Inhomogene Differentialgleichung über partikuläre Lösung lösen, Beispiel 3 | A.53.05

Bei einer inhomogenen DGL höherer Ordnung macht man zwei Schritte (beide sind lang). Im ersten Schritt löst man die zugehörige homogene DGL. Die zugehörige Lösung ist der erste Teil der Gesamtlösung. Im zweiten Schritt versucht man die “spezielle Lösung” oder “partikuläre Lösung” zu finden. Diese ist meistens vom gleichen Typ, wie die Störfunktion. (Die Störfunktion ist der Term ohne “f”, welcher die DGL inhomogen macht). Viel Glück!


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

DGL höherer Ordnung über charakteristisches Polynom lösen, Beispiel 3 | A.53.04

Bei einer homogenen DGL höherer Ordnung sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms entscheidend. Das charakteristische Polynom erhält man, in dem man in der DGL f' durch x ersetzt, f'' durch x^2, f''' durch x^3, usw. Diese Gleichung löst man (oft nicht einfach) und betrachtet die Lösungen. Der Lösungsansatz hängt von zwei Faktoren ab: 1. ist die Lösung des charakteristischen Polynoms reell oder komplex? und 2. ist die Lösung einfach, doppelt, dreifach...


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Lineare, inhomogene Differentialgleichung DGL lösen | A.53.03

Eine lineare inhomogene DGL hat die Form a·y'+b·y=c (a, b, c sind nicht zwingend Zahlen, sondern hängen von “x” ab). Im ersten Schritt bestimmt man die Lösung der zugehörigen homogenen DGL (man setzt also c=0) (?Kap.4.3.2). Im zweiten Schritt ersetzt man die Integrationskonstante “c” durch eine Funktion “c(x)”. Nun setzt man die gesamte Lösung (mitsamt c(x)) in die DGL ein und erhält nach einer Weile die Funktion “c(x)”. (Oft braucht man zwischendrin für die Integration die “Produktintegration” oder “Integration durch Substitution”.)


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Lineare, homogene Differentialgleichung mit Trennung der Variablen lösen | A.53.02

Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: “dy/dx”, multipliziert die gesamte Gleichung mit “dx” und versucht nun auch im Folgenden, alle “x” auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle “y” auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante “+c” nicht vergessen!). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein “x”-Wert und ein zugehöriger “y”-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante “c” bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich “Trennung der Variablen” oder “Variablentrennung”.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Injektiv, surjektiv, bijektiv: wie oft wird der y-Wert einer Funktion angenommen, Beispiel 4

Bei Injektivität, Surjektivität und Bijektivität interessiert man sich dafür, wie oft die y-Werte einer Funktion (oder Abbildung) angenommen werden. Wird jeder y-Wert der Funktion höchstens einmal angenommen (also einmal oder keinmal) nennt man die Funktion injektiv (auch linkseindeutig oder linkstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion mindestens einmal angenommen (also einmal oder öfter) nennt man die Funktion surjektiv (auch rechtseindeutig oder rechtstotal). Wird jeder y-Wert der Funktion genau einmal angenommen nennt man die Funktion bijektiv (auch eineindeutig).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Komplexe Zahlen dividieren und Kehrwert bilden, Beispiel 3 | A.54.04

Das Teilen von komplexen Zahlen hängt von der Form ab. Sind die Zahlen in Polarkoordinaten gegeben, ist das Ganze sehr einfach [siehe Bsp.1 und Bsp.2]. Sind die Zahlen als kartesische Koordinaten gegeben, erweitert man IMMER mit dem komplex-Konjugierten des Nenners. Dabei ist es völlig egal, ob im Zähler eine “1” steht oder eine andere komplexe Zahl. (Ob es also im eine Kehrwertberechnung geht oder um eine Division).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 5 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 3 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren; Beispiel 7 | A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum “Addieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum “Multiplizieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung

Video

Havonix Schulmedien-Verlag

Komplexe Zahlen addieren, multiplizieren, konjugieren | A.54.02

Der Trick beim Addieren oder Multiplizieren von komplexen Zahlen besteht darin, die Zahlen vorher immer in die geschickte Form umzuwandeln. Zum “Addieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine kartesische Form haben (falls sie also in Polarform gegeben sind, umwandeln!). Zum “Multiplizieren” sollten die komplexen Zahlen immer eine Polarform haben (falls sie also in kartesischer Form gegeben sind, umwandeln!). Das Konjugieren von komplexen Zahlen geht in allen Darstellungsformen einfach.


Dieses Material ist Teil einer Sammlung