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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Ebene berechnen über Lotgerade, Beispiel 2 | V.03.06

Einen Abstand Punkt-Ebene kann man über mehrere Wege berechnen. Eine der Möglichkeiten ist der Weg über die Lotgerade. Für eine solche senkrechte Gerade verwendet man als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene. Den Punkt verwendet man als Stützvektor der Hilfsgerade. Diese Methode eignet sich gut, wenn man den Lotfußpunkt braucht (Und den braucht man oft!)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Ebene berechnen über Hessesche Normalform HNF, Beispiel 3 | V.03.07

Die schnellste Möglichkeit den Abstand Punkt-Ebene zu berechnen, geht über die Hesse-Normal-Form (HNF). Man stellt die Hesse Normal Form der Ebene auf, setzt den Punkt ein und hat auch schon den gesuchten Abstand. Leider erhält man über diese Methode den Lotfußpunkt nicht.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand paralleler Geraden, Abstand paralleler Ebenen; Beispiel 1 | V.03.08

Den Abstand von zwei parallelen Geraden berechnet man, in dem man den Stützvektor der einen Gerade nimmt und den Abstand zur anderen Gerade berechnet. Ein Abstand Gerade Ebene macht nur Sinn, wenn beide parallel sind. Man nimmt den Stützvektor der Gerade und berechnet den Abstand zur Ebene (z.B. über HNF). Den Abstand von zwei parallelen Ebenen berechnet man, in dem man einen Punkt der einen Ebene nimmt (z.B. einen Spurpunkt) und berechnet den Abstand zur anderen Ebene (z.B. über HNF).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand windschiefer Geraden berechnen über Formel, Beispiel 2 | V.03.09

Den Abstand von Geraden, die windschief sind, kann man auf zwei Arten berechnen. Der einfachste Weg geht wohl über die Formel. Aus den Richtungsvektoren der beiden Geraden erstellt man einen Normaleneinheitsvektoren. Diesen multipliziert man mit der Differenz der Stützvektoren und erhält so den Abstand. Leider, leider liefert die Formel die Lotfußpunkte nicht und die braucht man manchmal für windschiefe Geraden.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Senkrechte Spiegelung an Koordinatenachse oder Koordinatenebene | V.04.01

Eine “senkrechte Spiegelung” bedeutet: “Spiegelung an Koordinatenachse” oder “Spiegelung an Koordinatenebene”. Beides geht sehr einfach: man ändert einfach die Vorzeichen von denjenigen Koordinaten die NICHT im Namen stehen (z.B. bei Spiegelung an der x1-Achse ändert man die Vorzeichen der x2- und der x3-Koordinate).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt an Punkt spiegeln, Beispiel 1 | V.04.02

Es gibt mehrere Möglichkeiten, einen Punkt an einem anderen zu spiegeln. Nehmen wir an, man spiegelt P an S, um den Spiegelpunkt P* zu erhalten. Man schreibt den Punkt P in Vektorform um und zählt den Verbindungsvektor PS zwei mal dazu. Schon ist man fertig. Da S der Symmetriepunkt von P und P* ist, kann man auch die Formel S=(P+P*)/2 nach P* auflösen.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Punkt an Ebene spiegeln | V.04.04

Will man Punkt an Ebene spiegeln, braucht man den Lotfußpunkt. (Man stellt dafür eine Lotgerade auf und schneidet diese mit der Ebene.) Nun spiegelt man den Punkt am Lotfußpunkt und erhält den gewünschten Spiegelpunkt.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Spiegeln einer Gerade oder einer Ebene an irgendwas, Beispiel 1 | V.04.05

Will man eine Gerade an irgendetwas spiegeln (also eine Gerade am Punkt spiegeln oder Gerade an Gerade spiegeln oder Gerade an Ebene spiegeln), sucht man sich irgendwelche Punkte der Ausgangsgerade aus und spiegelt beide Punkt am anderen Punkt/Gerade/Ebene. Man erhält zwei Spiegelpunkte, aus denen man die Spiegelgerade aufstellt. Will man eine Ebene spiegeln (egal ob am Punkt, an einer Gerade oder an einer anderen Ebene), sucht man sich irgendwelche drei Punkt der Ebene aus, spiegelt alle drei am anderen Objekt und erhält drei Spiegelpunkte, aus welchen man die gewünschte Spiegelebene erhält.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Spiegeln einer Gerade oder einer Ebene an irgendwas, Beispiel 3 | V.04.05

Will man eine Gerade an irgendetwas spiegeln (also eine Gerade am Punkt spiegeln oder Gerade an Gerade spiegeln oder Gerade an Ebene spiegeln), sucht man sich irgendwelche Punkte der Ausgangsgerade aus und spiegelt beide Punkt am anderen Punkt/Gerade/Ebene. Man erhält zwei Spiegelpunkte, aus denen man die Spiegelgerade aufstellt. Will man eine Ebene spiegeln (egal ob am Punkt, an einer Gerade oder an einer anderen Ebene), sucht man sich irgendwelche drei Punkt der Ebene aus, spiegelt alle drei am anderen Objekt und erhält drei Spiegelpunkte, aus welchen man die gewünschte Spiegelebene erhält.


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