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Die Geschichte der Mathematik / The Story of maths: Die Grenzen des Raumes

Im 17. Jahrhundert übernahm Europa vom Nahen Osten die Vorreiterrolle in Sachen Mathematik. Piero della Francesca war nicht nur Maler sondern auch Mathematiker, er perfektionierte die Perspektive in der italienischen Malerei. Sein Werk war der Beginn eines neuen Geometrieverständnisses. Der französische Mathematiker und Philosoph René Decartes verband Algebra mit Geometrie, ein Schritt, der die Welt der Mathematik entscheidend verändern sollte. Die Universitäten von Oxford und Cambridge bildeten im 17. Jahrhundert einige führende Mathematiker aus, einer von ihnen: Isaac Newton. Er entwickelte eine neue Theorie des Lichts, entdeckte die Gravitation und skizzierte einen revolutionären Ansatz zur Mathematik: Die Infinitesimalrechnung. Newtons Berechnungen machten es möglich, die Welt in ihren Veränderungen zu begreifen.

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Die Geschichte der Mathematik / The Story of maths: Die Genies des Ostens

Die große chinesische Mauer ist ein wahres Bravourstück der Statik, gebaut durch eine hochgelegene und raue Landschaft. Schon mit dem Beginn des Baues erkannten die alten Chinesen, dass sie besondere Berechnungen anstellen mussten, um den Entfernungen, den Steigungswinkeln und den ungeheuren Materialmengen gerecht zu werden. Die Chinesen waren auch die ersten, die ein dezimales Stellenwertsystem nutzten. Indien war die erste Zivilisation, die ein entsprechendes Zahlensystem mit einem Stellenwert für die Zahl Null entwickelte. Sie hatten auch schon eine Methode um die mathematische Zahl Pi zu beschreiben. Im 7. Jahrhundert entstand dann in Bagdad ein Zentrum, hier unternahm man den Versuch, das gesammelte mathematische Know-How der Griechen, Inder und Babylonier zusammenzustellen. Astronomie, Medizin, Chemie, Zoologie und Mathematik wurden hier gelehrt.

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Die Geschichte der Mathematik / The Story of maths: Die Sprache des Universums

Berechnungen der Zeit beeinflussten der Welt älteste Erfindungen: Schon in alten Kulturen fanden sich Kalender, die auf Mondzyklen beruhten, Anthropologen fanden bis zu 37.000 Jahre alte Knochen mit 29 Markierungen, die die Tage eines Monats darstellen. Die ersten mathematischen Systeme wurden in Babylon, Ägypten und Griechenland entwickelt. So wandten schon die Babylonier mathematische Konstrukte an, die Pythagoras erst 1000 Jahre später entwickeln sollte. Auch im alten Ägypten war man daran interessiert, praktische mathematische Aufgaben zu lösen, die mit Messen und Wiegen zu tun hatten. Hier entwickelte man das Potential eines mathematischen Binärsystems schon 3000 Jahre vor Gottfried Wilhelm Leibniz. Heute beruht die gesamte Welt der Technik auf den selben Prinzipien, die schon im alten Ägypten genutzt wurden.

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Die Geschichte der Mathematik / The Story of maths: Bis zur Unendlichkeit und weiter

Im Goldenen Zeitalter der Mathematik im Europa des 18. und 19. Jahrhunderts fanden die Mathematiker neue Wege der Analyse von Körpern in Bewegung, was es möglich machte, den Raum zu begreifen. Im Sommer 1900 stellte David Hilbert, ein junger deutscher Mathematiker, in seinem Vortrag auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris die dreiundzwanzig wichtigen ungelösten mathematischen Probleme vor, er gab damit den Fahrplan für die Mathematik des 20. Jahrhunderts vor. Zahlreiche Wissenschaftler haben seitdem daran gearbeitet. Von den 23 Problemen konnten so die meisten gelöst werden. Doch gerade die ungelösten Probleme machen die Mathematik auch zukünftig zu einem lebendigen Fachgebiet und eine Herausforderung für folgende Generationen.

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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Zweite Lösung einer trigonometrischen Gleichung bestimmen, Beispiel 1 | A.42.03

Wenn man eine Gleichung in der Trigonometrie von Hand lösen muss (bzw. mit einem einfachen Taschenrechner), steht man normalerweise irgendwann mal vor dem Problem, dass der Taschenrechner einem eine einzige Lösung liefert. Tatsächlich gibt es jedoch normalerweise schon innerhalb einer einzigen Periode zwei Lösungen. Wie kommt man auf die zweite Lösung? 1.Zuerst löst man nach sin(...) oder cos(...) auf. 2.Man substituiert das Argument (d.h. Man wendet Substitution an, in dem man das Innere der Klammer “u” nennt). 3.Man bestimmt mittels Taschenrechner oder Wertetabelle einen Wert von “u”. 4.(Der entscheidende Schritt) Bei sin: die zweite Lösung lautet: u2=Pi-u1. Bei cos: u2=-u1. 5.Man resubstituiert, um aus “u1” und “u2” die Werte “x1” und “x2” zu erhalten. 6.erhaltenen x-Werte kann man beliebig oft um je eine Periode nach links oder rechts verschieben (falls das notwendig ist).


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Komplexe Zahlen dividieren und Kehrwert bilden, Beispiel 1 | A.54.04

Das Teilen von komplexen Zahlen hängt von der Form ab. Sind die Zahlen in Polarkoordinaten gegeben, ist das Ganze sehr einfach [siehe Bsp.1 und Bsp.2]. Sind die Zahlen als kartesische Koordinaten gegeben, erweitert man IMMER mit dem komplex-Konjugierten des Nenners. Dabei ist es völlig egal, ob im Zähler eine “1” steht oder eine andere komplexe Zahl. (Ob es also im eine Kehrwertberechnung geht oder um eine Division).


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Komplexe Zahlen umrechnen von einer Form in eine andere Form, Beispiel 1 | A.54.03

Eines der wichtigsten Themen bei komplexen Zahlen ist zu wissen, wie man Zahlen von der einen in die andere Form umwandelt. Die Polarform (oder Exponentialdarstellung) sieht so aus: z=r*e^(phi*i). Die trigonometrische Form: z=r*(cos(phi)+i*sin(phi)). Die kartesische Form lautet: z=a+bi. Man muss also wissen, wie man auf r und phi kommt, wenn a und b gegeben ist und umgekehrt. Hat man a und b gegeben gilt: r=Wurzel(a^2+b^2), phi=arctan(b/a). Hat man r und phi gegeben gilt: a=r*cos(phi) und b=r*sin(phi).


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