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Analytische Geometrie (Vektoren): Spurpunkte einer Ebene berechnen, Beispiel 2 | V.01.10

Spurpunkte von Ebenen sind Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Den Schnittpunkt mit der x1-Achse berechnet man, indem man in die Koordinatengleichung der Ebene x2=0 und x3=0 einsetzt und nach x1 auflöst. Ebenso berechnet man die Achsenschnittpunkte mit der x2- und der x3-Achse.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Ebenen in ein Koordinatensystem einzeichnen | V.01.11

Man kann ein einem Koordinatensystem Ebenen einzeichnen (oder “Ebenen veranschaulichen”, wie es auch heißt), in dem man die Spurpunkte berechnet und einzeichnet (siehe Kap.5.1.11) und diese dann einfach verbindet. Sonderfälle beim Einzeichnen von Ebenen hat man, falls ein Spurpunkt fehlt. In diesem Fall wird die Ebene parallel zu den Koordinatenachsen eingezeichnet.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Schnittpunkt Gerade Ebene berechnen, Beispiel 2 | V.02.02

Es gibt drei Lagen, die eine Gerade und eine Ebene annehmen können. Man unterscheidet diese drei Fälle einfach in dem man die Schnittpunkte von Gerade und Ebene ausrechnet. 1.Fall: Gerade und Ebene sind parallel, in dem Fall gibt es keine Schnittpunkte. 2.Fall: Die Gerade liegt in der Ebene, in dem Fall gibt’s unendlich viele Schnittpunkte. 3.Fall: Es gibt einen Schnittpunkt. In dem Fall gibt’s bei der Schnittpunktberechnung EINE Lösung.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Schnittpunkt zweier Ebenen berechnen, Beispiel 3 | V.02.03

Zwei Ebenen können auf drei Arten zueinander liegen: Sie können parallel sein, identisch sein oder sie haben eine Schnittgerade. Wenn die Ebenen in Koordinatenform gegeben sind, erkennt man die drei Lagen sehr schnell. Wenn die linken Seiten der Koordinatengleichungen Vielfache voneinander sind, sind die Ebenen parallel oder identisch. Falls nicht, haben sie eine Schnittgerade. Letztere berechnet man, indem man beide Koordinatengleichungen wie ein Gleichungssystem behandelt, das unendlich viele Lösungen hat.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand berechnen | V.03

Es gibt drei wichtige Abstände: 1.Abstand Punkt-Punkt, 2.Punkt-Gerade, 3.Abstand Punkt-Ebene. Die Entfernung von allem anderen führt man auf diese ersten drei zurück. (Ausnahme bilden zwei windschiefe Geraden. Man kann deren Abstand berechnen, in dem man entweder eine Formel anwendet oder die Lotfußpunkte bestimmt.)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Gerade berechnen über Lotebene | V.03.02

Einen Abstand Punkt-Gerade kann man über mehrere Wege berechnen. Eine der Möglichkeiten ist der Weg über die Lotebene. Für eine solche senkrechte Ebene verwendet man als Normalenvektor den Richtungsvektor der Geraden. Den Punkt verwendet man als Stützvektor für diese Hilfsebene.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Gerade berechnen über Sinus des Winkels | V.03.05

Eine Möglichkeit eine Entfernung Punkte Gerade zu berechnen, geht über den Sinus. Man bestimmt den Abstand vom Stützvektor der Gerade zum gesuchten Punkt, bestimmt den Winkel zwischen Verbindungsvektor von Punkt zu Stützvektor und bestimmt nun im rechtwinkligen Dreieck den Abstand Punkt-Gerade über Sinus, Gegenkathete und Hypotenuse.


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand Punkt Ebene berechnen über Lotgerade, Beispiel 3 | V.03.06

Einen Abstand Punkt-Ebene kann man über mehrere Wege berechnen. Eine der Möglichkeiten ist der Weg über die Lotgerade. Für eine solche senkrechte Gerade verwendet man als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene. Den Punkt verwendet man als Stützvektor der Hilfsgerade. Diese Methode eignet sich gut, wenn man den Lotfußpunkt braucht (Und den braucht man oft!)


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand paralleler Geraden, Abstand paralleler Ebenen | V.03.08

Den Abstand von zwei parallelen Geraden berechnet man, in dem man den Stützvektor der einen Gerade nimmt und den Abstand zur anderen Gerade berechnet. Ein Abstand Gerade Ebene macht nur Sinn, wenn beide parallel sind. Man nimmt den Stützvektor der Gerade und berechnet den Abstand zur Ebene (z.B. über HNF). Den Abstand von zwei parallelen Ebenen berechnet man, in dem man einen Punkt der einen Ebene nimmt (z.B. einen Spurpunkt) und berechnet den Abstand zur anderen Ebene (z.B. über HNF).


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Analytische Geometrie (Vektoren): Abstand paralleler Geraden, Abstand paralleler Ebenen; Beispiel 2 | V.03.08

Den Abstand von zwei parallelen Geraden berechnet man, in dem man den Stützvektor der einen Gerade nimmt und den Abstand zur anderen Gerade berechnet. Ein Abstand Gerade Ebene macht nur Sinn, wenn beide parallel sind. Man nimmt den Stützvektor der Gerade und berechnet den Abstand zur Ebene (z.B. über HNF). Den Abstand von zwei parallelen Ebenen berechnet man, in dem man einen Punkt der einen Ebene nimmt (z.B. einen Spurpunkt) und berechnet den Abstand zur anderen Ebene (z.B. über HNF).


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