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Exponentielles Wachstum berechnen, Beispiel 6 | A.30.03

Exponentielles Wachstum ist ein Wachstum, in welchem die Zunahme (oder Abnahme) immer proportional zum Bestand ist, sprich: zum bereits vorhandenen Bestand kommt immer der gleiche prozentuale Anteil dazu (oder geht weg). Standardbeispiel: Zinsen bei der Bank (Zu einem angelegten Kapital kommt immer der gleiche Zinssatz dazu). Typisch für exponentielles Wachstum ist die Verdopplungszeit (bei exponentieller Zunahme) bzw. die Halbwertszeit (bei exponentielles Abnahme). Egal wann man mit der Messung beginnt, es dauert bei jedem Vorgang immer gleich lang, bis sich der Bestand verdoppelt (bzw. halbiert) hat. Exponentielles Wachstum wird durch die Funktionsgleichung f(t)=a*e^(kt) beschrieben.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Exponentielles Wachstum berechnen mit Differentialgleichung, Beispiel 6 | A.30.04

Die Differenzialgleichung vom exponentiellen Wachstum lautet: f'(t)=k*f(t) und sagt damit aus, dass die Änderung immer proportional zum Bestand ist (falls k=0,05, bedeutet das, dass die Zunahme immer 5% vom Bestand ist). Die Zahl “k” heißt Proportionalitätsfaktor oder Wachstumskonstante und taucht auch in der Funktionsgleichung vom exponentiellen Wachstum auf.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Beschränktes Wachstum berechnen, Beispiel 4 | A.30.05

Begrenztes Wachstum (=beschränktes Wachstum) wächst am Anfang relativ schnell und nähert sich allmählich und immer langsamer einer Grenze (=Schranke), welche mit G oder S bezeichnet wird. Typische Beispiele für begrenztes Wachstum sind Erwärmungs- oder Abkühlungsvorgänge, Mischungsverhältnisse (z.B. irgendein Zeug löst sich in Wasser etc.. auf). Allgemein gilt für begrenztes Wachstum, dass immer ein konstanter Wert zum Bestand dazukommt und ein bestimmter Prozentwert weg geht. Die Funktionsgleichung vom begrenztes Wachstum lautet: f(t)=G+a*e^(-k*t). In einiges Aufgaben fällt das Wort “Sättigungsmanko”. Hierbei handelt es sich um den Wert, um welchen der Bestand überhaupt noch zunehmen kann, also um die Differenz zwischen Grenze und aktuellem Bestand.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Definition von stetig und differenzierbar, Beispiel 3 | A.25.0.3

“Knickfrei” ist ein Schlüsselwort, welches man für Prüfungsaufgaben kennen sollte. Es geht meist im zwei Funktionen, die bei einem bestimmten x-Wert zusammentreffen. Der Übergang beider Funktionen verläuft knickfrei, wenn (bei diesem x-Wert) die y-Werte gleich sind, die Ergebnisse der ersten Ableitungen und die der zweiten Ableitungen. In der Mathematik hat das Wort “knickfrei” keine besondere Bedeutung, sollten Sie zu diesem Problemstellung was suchen, verwenden Sie statt dessen den Begriff “zweimal differenzierbar”.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Lineare Ungleichungen, Beispiel 2 | A.26.01

Eine lineare Ungleichung ist eine Ungleichung, in der nur “x” vorkommt. Kein “x²” oder höhere Potenzen, keine Brüche, keine Wurzeln, aber natürlich “Kleinerzeichen” oder ein “Größerzeichen”. Es handelt sich um eine recht einfache Angelegenheit. Alles, was ein “x” hat, kommt auf die linke Seite, alles ohne “x” auf die rechte Seite. Teilt man durch etwas Negatives, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Quadratische Ungleichungen, Beispiel 2 | A.26.02

Eine quadratische Ungleichung ist natürlich eine Ungleichung, in welcher “x²” vorkommt. Es gibt zwei gute Vorgehensweisen dafür. Entweder über die quadratische Ergänzung oder man bestimmt die Nullstellen der quadratischen Parabel, überlegt, wie die Parabel liegt und weiß damit, in welchem Bereich die Parabel positiv oder negativ ist.


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen höherer Potenz | A.26.03

Eine “höhere Ungleichung” oder besser eine “Ungleichung höherer Potenz” ist eine Ungleichung, in welcher höhere Potenzen von “x” auftauchen. Eigentlich gibt es nur eine gute Lösungsmöglichkeit:


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen mit Brüchen | A.26.04

Wenn Ungleichungen anfangen hässlich zu werden, ist das meist mit Brüchen verbunden. Man braucht im Normalfall eine Fallunterscheidung (oder mehrere), … Alles nicht schön. Man kann die Fallunterscheidungen umgehen, wenn man alle Zähler- und alle Nennernullstellen berechnet, diese als Intervallgrenzen verwendet und nun für jedes entstandene Intervall prüft, ob die Ungleichung stimmt. (Letzteres tut man, indem man für jedes Intervall eine Zahl aus diesem Intervall in die Ungleichung einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält.)


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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Schaubilder von Funktionen | A.27.01

Für viele Aufgaben mit Schaubilder ist es unerlässlich, das Aussehen der Standardfunktionen zu kennen. Es ist wichtig, die Schaubilder der folgenden Funktionstypen zu kennen: 1.die Parabeln von ganzrationalen Funktionen, 2.von Exponentialfunktionen, 3.von trigonometrische Funktionen (Sinus und Kosinus), 4.Hyperbeln von Bruch-Funktionen, 5.von Wurzelfunktionen, 6.von Logarithmus-Funktionen.


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