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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Kubische Funktion, kubische Parabel ableiten, Beispiel 1 | A.05.02

Die Ableitung von (kubischen) Funktionen braucht man hauptsächlich um Extrempunkte und Tangenten zu berechnen. Setzt man die Ableitung Null und löst nach “x” auf, erhält man die Hoch- und Tiefpunkte. Setzt man irgendeinen x-Wert in die Ableitung ein, so erhält man die Tangentensteigung. Wie leitet man überhaupt ab? Die Hochzahl von “x” kommt vor, die neue Hochzahl wird eins kleiner. Z.B. wird aus 4x³ beim Ableiten: 4*3x²=12x².


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Kubische Funktion, Tangenten kubischer Parabeln berechnen, Beispiel 1 - A.05.05

Eine Tangente ist eine Gerade, die eine Funktion in einem bestimmten Punkt berührt. Die Steigung der Tangente erhält man, in dem man den x-Wert des Berührpunktes in die Ableitung der Funktion einsetzt. Den y-Wert des Berührpunktes erhält man, in dem man x in die Ausgangsfunktion f(x) einsetzt. Setzt man x, y und m in die Geradengleichung y=m*x+b ein, erhält man b und damit die Geradengleichung.


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Kubische Funktion, Funktionsanalyse / Kurvendiskussion, Beispiel 1d: Wendepunkte berechnen

Wir sehen hier ein Beispiel einer Funktionsuntersuchung (=Kurvendiskussion) einer Funktion dritten Grades. Wir berechnen die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, machen eine Skizze der Funktion und freuen uns des Lebens.


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Kubische Funktion, Funktionsanalyse / Kurvendiskussion, Beispiel 2b: Hoch-/ Tiefpunkt berechnen

Wir betrachten eine kubische Funktion und machen davon eine Funktionsuntersuchung (=Kurvendiskussion). Wir berechnen die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, machen eine Skizze der Funktion und lassen dadurch die kosmische Energie des Universums eine Entspannung unseres Seelenzustands bewirken.


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Kubische Funktion, Funktionsanalyse / Kurvendiskussion, Beispiel 2d: Tangente berechnen

Wir betrachten eine kubische Funktion und machen davon eine Funktionsuntersuchung (=Kurvendiskussion). Wir berechnen die Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, machen eine Skizze der Funktion und lassen dadurch die kosmische Energie des Universums eine Entspannung unseres Seelenzustands bewirken.


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Hyperbel / Hyperbeln berechnen, Beispiel 4 | A.06.02

Eine Funktion, die im Nenner (unten) eines Bruchs ein “x” stehen hat, ist eine Hyperbel. Die einfachsten Hyperbeln sind “1/x”, “1/x²”,... Da man solche Brüche mithilfe der Potenzregeln auch umschreiben kann, kann man auch sagen, dass Hyperbeln Funktionen sind, bei denen negative Hochzahlen auftauchen. Normalerweise nähern sich Hyperbeln einer waagerechten und einer senkrechten Gerade an (oft x- und y-Achse). Diese Geraden heißen dann Asymptoten. Sie müssen in der Lage sein, diese Asymptoten heraus zu finden (ob Sie dabei den Begriff “Asymptoten” verwenden, ist unwichtig) und Sie sollten die Funktionen grob skizzieren können.


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Exponentialfunktion: was ist das? Wie rechnet man mit Exponentialfunktionen? Beispiel 2 | A.06.03

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in welcher die Unbekannte “x” in der Hochzahl steht. Die einfachen Exponentialfunktionen (2^x, 3^x, …) sehen alle so aus, dass die sich links der x-Achse nähern und rechts hoch ins Unendliche laufen. (Die x-Achse ist also eine Asymptote). Durch Verschieben, Strecken und Spiegeln der Funktionen ändert sich natürlich deren Aussehen. Sie müssen in der Lage sein, das Aussehen der Exponentialfunktionen grob zu erkennen. Eine weitere Fragestellung, der man bei Exponentialfunktionen häufig begegnet, ist Folgende: Von einer Funktion ist bekannt, dass sie die Form: y=a*b^x hat. Nun sind zwei Punkte gegeben und Sie müssen die Parameter “a” und “b” bestimmen.


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Exponentialfunktion: was ist das? Wie rechnet man mit Exponentialfunktionen? Beispiel 5 | A.06.03

Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, in welcher die Unbekannte “x” in der Hochzahl steht. Die einfachen Exponentialfunktionen (2^x, 3^x, …) sehen alle so aus, dass die sich links der x-Achse nähern und rechts hoch ins Unendliche laufen. (Die x-Achse ist also eine Asymptote). Durch Verschieben, Strecken und Spiegeln der Funktionen ändert sich natürlich deren Aussehen. Sie müssen in der Lage sein, das Aussehen der Exponentialfunktionen grob zu erkennen. Eine weitere Fragestellung, der man bei Exponentialfunktionen häufig begegnet, ist Folgende: Von einer Funktion ist bekannt, dass sie die Form: y=a*b^x hat. Nun sind zwei Punkte gegeben und Sie müssen die Parameter “a” und “b” bestimmen.


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Analysis 1 | Geraden und Parabeln: Lineares Wachstum berechnen, Beispiel 2 | A.07.01

Lineares Wachstum kennzeichnet sich dadurch, dass immer die gleiche Menge dazu kommt (z.B. kriegt Karlchen jeden Tag 50Cent dazu). Es wird durch eine Gerade beschriebe, bloß verwendet man nicht die Buchstaben “y=m*x+b”, sondern es werden andere Buchstaben verwendet. Gängig ist B(t)=B(0)+m*t. Hierbei ist “B(0)” der Anfangswert, “B(t)” der Bestand nach Ablauf der Zeit “t” und “m” ist die Menge die pro Zeiteinheit konstant dazu kommt.


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Geraden, Gerade berechnen: Übungsaufgaben und Rechenbeispiele, Beispiel 4 - A.02.21

Wir stellen die Gleichungen von drei Geraden auf, von denen man unterschiedliche Angaben hat und damit Verschiedenes weiß. Die erste Winkelhalbierende ist von Bedeutung, wir brauchen einen Schnittpunkt und einen Schnittwinkel.


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