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Analysis 3 | Tiefere Einblicke in die Funktionsanalyse: Ungleichungen mit Brüchen, Beispiel 3 | A.26.04

Wenn Ungleichungen anfangen hässlich zu werden, ist das meist mit Brüchen verbunden. Man braucht im Normalfall eine Fallunterscheidung (oder mehrere), … Alles nicht schön. Man kann die Fallunterscheidungen umgehen, wenn man alle Zähler- und alle Nennernullstellen berechnet, diese als Intervallgrenzen verwendet und nun für jedes entstandene Intervall prüft, ob die Ungleichung stimmt. (Letzteres tut man, indem man für jedes Intervall eine Zahl aus diesem Intervall in die Ungleichung einsetzt und schaut, ob man eine wahre Aussage oder einen Widerspruch erhält.)


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen integrieren bzw. aufleiten, Beispiel 3 | A.43.04

Es gibt drei Typen von gebrochen-rationalen Funktionen, die man verhältnismäßig einfach integrieren kann. 1.Funktionen, die im Nenner (unten) kein “+” oder “-” haben. Diese Funktionen kann man aufspalten und dann recht einfach integrieren. 2. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer ohne Hochzahl. Die Stammfunktion wird führt man auf den Logarithmus (auf ln(..)) zurück. 3. Funktionen, die oben nur eine Zahl haben, unten eine Klammer mit Hochzahl. Man schreibt die Funktion um, den Nenner schreibt man hoch, in dem die Hochzahl negativ wird. Nun kann man die Funktion integrieren.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Schiefe Asymptote von gebrochen-rationalen Funktionen mit Polynomdivision bestimmen, Beispiel 1

Ist die größte Potenz oben genau eins größer als die größte Potenz unten, hat die Funktion eine schiefe Asymptote, also eine Näherungsgerade. Man erhält diese Gerade nur durch eine Polynomdivision.


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Funktionsanalyse gebrochen-rationale Funktion mit Beispielen und Übungen, Beispiel 1 | A.43.10

Ein paar Beispiele von Funktionsuntersuchungen von gebrochen-rationalen Funktionen. (Wir betrachten Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, alle Asymptoten und fertigen eine Skizze.) In den ersten beiden Funktionen gibt es Polstellen ohne Vorzeichenwechsel (=ohne VZW).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Gebrochen-rationale Funktionen: So leitet man eine Bruchfunktion ab, Beispiel 3 | A.43.02

Die Ableitung eines Bruchs geht mit der sogenannten “Quotientenregel”. Der Zähler (oben) wird “u” genannt, der Nenner (unten) wird “v” genannt. Die Formel für Ableitung lautet: f'(x)=(u'·v-u·v')/(v²).


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Analysis 4 | Die Verschiedenen Funktionstypen: Ableitung von komplizierten gebrochen-rationalen Funktionen, Beispiel 1 | A.43.03

Für besonders hässliche Ableitung braucht man die Quotientenregel und zusätzlich noch Ketten- und/oder Produktregel. Na ja.. hässlich eben.


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Brüche kürzen: so kürzt man einen Bruch - B.02.01

Um einen Bruch zu kürzen, muss man Zähler und Nenner (oben und unten) durch die gleiche Zahl teilen. Mit dieser Rechenregel kann man Brüche also vereinfachen, (man hat oben und unten kleinere Zahlen), der Bruch wird dadurch handlicher.


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Brüche erweitern: so erweitert man einen Bruch | B.02.02

Um einen Bruch zu erweitern, muss man Zähler und Nenner (oben und unten) mit der gleichen Zahl multiplizieren. Meist braucht man diese Rechenregel (zum Brüche erweitern) für den Hauptnenner von Brüchen, z.B. beim Addieren von Brüchen.


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Basisrechnen: Kopfrechnen: einen Bruch in einen Mischbruch umwandeln und umgekehrt, Beispiel 5 | B.08.08

Ein reiner Bruch ist ein Bruch, der nur einen Zähler und einen Nenner hat. Ein Mischbruch hat einen Zähler, einen Nenner und eine ganze Zahl davor stehen. Z.B. sind fünf Achtel ein Reinbruch, während zwei Ganze fünf Achtel ein Mischbruch ist. Um einen reinen Bruch in einen Mischbruch umzuwandeln, teilt man einfach den Zähler (=oben) durch den Nenner (=unten) und erhält sofort eine ganze Zahl und den Restbruch (das Ganze macht nur Sinn, wenn der Zähler größer als der Nenner ist). Will man für eine Bruchrechnung einen Mischbruch in einen reinen Bruch umwandeln, so macht man Folgendes: Der Nenner bleibt unverändert. Den neuen Zähler des reinen Bruch erhält man, in dem man die ganze Zahl mit dem Nenner multipliziert und den alten Zähler dazu addiert.


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Basisrechnen: Kopfrechnen: einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln und umgekehrt, Beispiel 3 | B.08.09

Bei einer Bruchrechnung muss man oft den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln oder eine Dezimalzahl in einen Bruch. Einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln ist schnell erklärt: man teilt den Zähler (=Oberes) durch den Nenner (=Unteres). Fertig. Will man eine Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, gibt es mehrere Fälle: Fall a) Die Nachkommastellen brechen irgendwann mal ab: In diesem Fall lässt man das Komma einfach weg, die Zahl (ohne Komma) steht oben im Zähler, im Nenner steht eine “1”, die so viel Nullen hinten dran hat, wie es Nachkommastellen gab. Fall b) Hinter dem Komma steht eine Periode (das sind ein oder mehrere Zahlen, die sich wiederholen) und vielleicht noch Zahlen zwischen dem Komma und der Periode (was man “Vorperiode” nennt): Man macht zuerst einen Mischbruch. Die Zahl vor dem Komma sind die Ganzen (vor dem Bruch). Die Vorperiode wandelt man wie in Fall a) in einen Bruch um, die Periode schreibt man (in einem neuen Bruch) in den Zähler, in dem zugehörigen Nenner stehen so viele Neuner, die die Periode Stellen hat und dahinter so viel Nullen wie die Vorperiode Stellen hat.


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